合集-每日导数第一辑
摘要：保号性应用 已知函数\(f(x)=e^x-mx\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)若\(f(x)\geq (a-m)x-\sin x+1,\forall x>0\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解. \((1)\) 当\(m\leq 0\)时，\(f(x)\)为单调递增 当\(m>0\)
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摘要：双变量问题中参数的处理 已知函数\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{2}x^2+a\)有两个不同的极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\) \((1)\) 求\(a\)的取值范围 \((2)\) 已知\(m>0,\)且\(x_1+mx_2>m+1\),求\(m\)的取值范围. 解 \(
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摘要：新颖地利用切线拟合零点 已知函数\(f(x)=\ln x+ax(a\in\mathbb{R})\) (1)讨论函数\(y=f(x)-a\)的零点个数 (2)若\(a>-1\)且函数\(y=f(x)-a\)有两个零点\(x_1，x_2\)证明：\(|x_1-x_2|<\left(\dfrac{2}{a
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摘要：常规的双变量问题与隐零点 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+a\ln x-4x(a>0)\) \((1)a=3\)时，讨论\(f(x)\)单调性 \((2)\) 设\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)，\)证明\(f(x_1)+f(x_2)>\ln a
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摘要：找出相同结构 设函数\(f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-1-ax\). \((1)\) 若\(x\geq0\),\(f\left(x\right)\geq0\),求\(a\)的取值范围; \((2)\)若\(x>0\)且\(m\geq1\),证明：\(f\left(x\ri
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摘要：观察放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{e^x}\) \((1)\) 求函数\(f(x)\)在\((0,3)\)上的单调区间 \((2)\) 若\(x>0\)时，\(f(x)\leq a\ln (x+1)\)，求实数\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prim
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摘要：多变量问题转化成单变量问题 设\(a\in \mathbb{R}\)，函数\(f(x)=x^2e^{1-x}-a(x-1)\) \((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\(\left(\dfrac{3}{4},2\right)\)内的极值 \((2)\)设函数\(g(x)=f(x)+a
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摘要：不同角度解决双变量问题 已知函数\(f(x)=x\ln x-\dfrac{1}{2}ax^2-x(a\in\mathbb{R})\) \((1)\) 若函数\(f(x)\)在\(\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)上为增函数，求实数\(a\)的最大值； \((2)\
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摘要：指对分离：\(x\ln x,xe^x\)，下界大于上界 已知函数\(f(x)=\dfrac{ae^{x-1}}{x}+e(\ln x-x),a\in\mathbb{R}\) \((1)\)若\(f(x)\)在\((1.+\infty)\)上单调递增，求\(a\)的取值范围 \((2)\)当\(a\g
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摘要：来个简单的 已知函数\(f(x)=2a\ln x-x+\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 若\(\forall x\in [1,+\infty),f(x)\leq 0\)，求\(a\)的取值范围. \((2)\)证明：\(\forall a\in (1,+\infty),\forall x
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摘要：再来点简单的 已知函数\(f(x)=e^x\cos x\) \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间 \((2)\) \(F(x)=-f^{\prime}(x)-ax\)在\(\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)上有两个极值点，求实数\(a\)的取值范围. 解 \((
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摘要：一道常规的求参 已知函数\(f(x)=e^x-1\) \((1)\) 若\(g(x)=f(x)-ax\),讨论\(g(x)\)的单调性 \((2)\)当\(x>0\)时，都有\((x-k-1)f(x)+x+1>0\)成立，求整数\(k\)的最大值 解 \((1)\) \(g(x)=e^x-1-ax\
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摘要：越复杂越简单，构造问题 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\)当\(a=2\)时，求\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若\(f(x)\leq\dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) \(a=2,f
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摘要：极值点偏移:对数均值不等式 已知\(a\in\mathbb{R}\),函数\(f(x)=\dfrac{a}{x}+\ln x,g(x)=ax-\ln x-2\).若\(f(x_1)=f(x_2)=2(x_1\neq x_2)\) (1)求出\(a\)的取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{x
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摘要：放缩与必要性探路(端点效应) 已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+(b-1)x+a\)在\(x=0\)处的切线与\(y\)轴垂直. 证明：\(\forall x\in[0,+\infty)\)，不等式\(2[e^xf(x)-\cos x]>\ln(1+x)\)恒成立，求实数\(
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摘要：含参问题常用三种思想 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x+1\)，若\(x\in(1,+\infty)\)时，\(f(x)>0\),求\(a\)的取值范围 解 法一：直接讨论 \(f^{\prime}(x)=a(\ln x+1)-1\)，\(f^{\prime}(x)\)为增函数，并且\(f^
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摘要：很难的放缩：对数均值不等式 已知函数\(f(x)=-2x-2\sin x+2m\ln x,m>0\)若存在\(f(x_1)=f(x_2)(x_1\neq x_2)\) \((1)\)判断\(2(x-\sin x)\)的单调性 \((2)\)证明:\(x_1+x_2>1+\ln m\) 解 \((1)
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摘要：重要放缩与观察配凑数列 函数\(f(x)=a\ln x+\dfrac{1}{2}x^2-(a+1)x+\dfrac{3}{2}(a>0)\) \((1)\)求函数单调区间 \((2)\)当\(a=1\)时，\(f(x_1)+f(x_2)=0\)证明：\(x_1+x_2\geq 2\) \((3)\)
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摘要：一道放缩（很丑陋） 已知函数\(f(x)=\ln(x+1)-\lambda x+\dfrac{x^2}{2}(x>0)\) \((1)\) 若\(f(x)>0\)求\(\lambda\)的取值范围 \((2)\)证明：\(2\ln(n+1)-\dfrac{33}{20}<\displaystyle\
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摘要：简单构造，考察眼睛 x^2-a\ln x+(1-a)x+1$ \((1)\) 讨论函数的单调性 \((2)\) 当\(a=1\)时，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\) 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{a
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摘要：伯努利不等式应用 已知函数\(f(x)=(1+x)^m-mx-1,x>-1,m>0\)且\(m\neq 1\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)单调性 \((2)\) 若\(\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\p
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摘要：隐藏的极值点偏移 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x-a\ln(x+1)\) \((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)当\(a>0\)时，若\(m\)为函数的正零点，证明：\(m>2\sqrt{a+1}\) 解 \((1)\)由题得\(x>-1\) \(f
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摘要：简单的零点分析 已知\(f(x)=ae^x-\sin x-1\) \((1)\) 当\(a=1\)证明：\(\forall x\in[0,+\infty),f(x)\geq 0\) \((2)\) 若\(f(x)\)在区间\(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)上存在极值，
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摘要：\(\ln x<\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right),\ln x>\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\)放缩 已知函数\(f(x)=e^{\frac{1}{x}-a}+\ln x-a\)有两个零点\(x_1,x_2
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摘要：\(\ln x<x-1\)放缩应用 已知函数\(f(x)=mx-\ln x-1\) \((1)\) 讨论函数的单调性 \((2)\) 若不等式\(e^{x-1}+a\ln x-(a+1)x+a\geq 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)=m-\d
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摘要：同构问题，越复杂越有思路 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\) 当\(a=2\)求\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 若\(f(x)\leq \dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)取值范围. \((1)\) \(a=2,f(
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摘要：切线放缩辅助分析 设\(f(x)=ax-(a+1)\ln x-\dfrac{1}{x},a>0\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 设\(g(x)=x^2e^{2x}-f(x)\)，若关于\(x\)的不等式\(g(x)\geq ax+(a+3)\ln x+\dfrac{
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摘要：遇到的最难的一个找点问题 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若关于\(x\)的方程\(f(x)=a\)有两个实数解，求\(a\)的最大整数解. \((1)\) \(f(x)=\ln x-\dfra
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摘要：数学分析味道很浓的一道题，可以当作找点问题的典型. 已知函数\(f(x)=e^x-ax^2-\cos x-\ln(x+1)\) \((1)\) 若\(a=1\)，求证：\(f(x)\)的图像与\(x\)轴相切与原点 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在区间\((-1,0),(0,+\infty)
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摘要：常用的两个放缩应用，结构很明显 已知函数\(f(x)=\sin x\) \((1)\) 设\(F(x)=f(x)-mx,\)若\(F(x)\leq 0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求实数\(m\)的取值范围 \((2)\) 设\(G(x)=\dfrac{2}{3}f(x)+x-\df
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摘要：分析不等式 设函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}ax^2+\cos x-1\) \((1)\) 当\(a\geq 1\)时，证明:\(f(x)\geq 0\) \((2)\) 证明:\(\dfrac{1}{\tan 1}+\dfrac{1}{2\tan\dfrac{1}{2}}+\dfrac
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摘要：找点问题 已知函数\(f(x)=\sin2x-\ln(1+x),f^{\prime}(x)\)是\(f(x)\)的导数 \((1)\) 证明；\(f^{\prime}(x)\)在区间\(\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上存在唯一的极大值点; \((2)\) 讨论\(f
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摘要：找点问题着重于分析图形的走势 已知函数\(f(x)=e^x-ax\sin x-x-1\) \((1)\) \(a=0\)时，证明：\(f(x)\geq 0\)恒成立 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在\((0,\pi)\)上只有唯一的零点，求\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) 经典的切
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摘要：保号性辅助临界点分析 已知函数\(f(x)=x\ln x+a(x^3-x)\) \((1)\) 讨论\(\dfrac{f(x)}{x}\)的单调性 \((2)\) 已知\(g(x)=2x-e^{x-1}-1\)，若\(f(x)\geq g(x)\)恒成立，求\(a\)的值. 解 \((1)\) 记\
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摘要：一道典型但又很难想到思路的双变量问题 已知函数\(f(x)=\ln x-ax-\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 函数\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明:\(x_1x_2>2e^2\) 解 \((1)\
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摘要：高考数学里的微分学思想 已知函数\(f(x)=e^x-ax^3-x-2\) \((1)\)当\(a=0\)，求\(f(x)\)的单调区间与极值 \((2)\) 若\(a\leq \dfrac{1}{6}\)，证明:当\(x_1,x_2\in[0,+\infty)\)，且\(x_1>x_2\)时，\(
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摘要：类偏移问题 已知函数\(f(x)=(x-1)e^x+ax^2\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 当\(a<-1\)时，若\(f(x)\)的极小值点为\(x_0\)，证明:\(f(x)\)的存在唯一的零点\(x_1\)，且\(x_1-x_0\geq \ln 2\) \(
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摘要：找点问题，第一次尝试着不用极限去做 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1\) \((1)\) 求\(f(x)\)的最小值 \((2)\) 若\(g(x)=x^2[f(x)+1-a]-x+a\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)
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摘要：简单的找点问题 已知函数\(f(x)=ax^3+2\sin x-x\cos x\) \((1)\) 若\(a=-\dfrac{1}{2},x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，证明:\(f(x)\geq 0\) \((2)\)探究\(f(x)\)在\((-\pi,\
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摘要：出得比较臭的题 若函数\(f(x)\)在定义域内存在两个不同的数\(x_1,x_2\)满足\(f(x_1)=f(x_2)\)且\(f(x)\)在点\(\left(x_1,f(x_1)\right),(x_2,f(x_2))\)处的切线相同，则称\(f(x)\)是切合函数 \((1)\) 证明:\(f
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摘要：估值问题 已知函数\(f(x)=(x+1)\ln x-ax+a\) \((1)\) 若\(a=2\)，判断\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 若\(x>1,f(x)>0\)恒成立 (i)求\(a\)的取值范围 (ii)设\(a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\
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摘要：不一样的比值代换 已知函数\(f(x)=\dfrac{(x+1)\ln x+a+1}{x}\)，函数\(f(x)\)有两个极值点 (1) 求\(a\)的取值范围 (2) 若函数\(f(x)\)的两个极值点为\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)且\(3x_1\geq x_2\)，求\(\ln x_
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摘要：类似于23新高考一道题，分析出界限 已知函数\(f(x)=\dfrac{x}{e^x},g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，证明：存在直线\(y=b\)，其与两条曲线\(y=f(x),g=g(x)\)共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等比数列 解. 先说明\(b\)的存在
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摘要：切线问题 已知\(f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x\)的图像在\(x=4\)处的切线为\(y=l(x)\) (1) 求\(f(x)\)的解析式 (2) 若过点\((a,b)(a<4)\)可作\(f(x)\) 图像的三条切线，证明：\(l(a)<b<f(a)\) (1) \(f(4)=2
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摘要：估值问题要放缩 设函数\(f(x)=\sin x-x\cos x,g(x)=\left(1+\dfrac{x^2}{2}\right)\cos x\) (1) 当\(x\in[0,\pi]\)时，证明:\(f(x)\geq 0\) (2) 当\(x\in[-\pi,\pi]\)时，求\(g(x)\)
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摘要：特别典型的一道端点效应与放缩找点 已知\(f(x)=m(x-1)^2-2x+2\ln x,m>2\) (1)证明：函数\(f(x)\)存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间\((a,b)\)的长度\(b-a\)的取值范围 (2)当\(x\geq 1\)时，\(f(x)\leq 2xe^{x-1}
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摘要：如果有简单的方法，麻烦评论区给下思路，没写出来 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x^2+1\) (1)若\(f(x)\)只有一个零点，求实数\(a\)的取值范围 (2)证明:\((\ln 2)^2+\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)^2+\ln\left(\dfrac{4
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摘要：隐零点与类偏移，第三问太难想不出来，不知道考哪里 \(f(x)=x^2+\dfrac{1-\ln x}{x}-a\)有两个零点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\) (1)求\(a\)的取值范围 (2)证\(x_1x_2<1\) (3)证\(x_2-x_1<\sqrt{a^2-4}<x_2^
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摘要：典型的一道求参问题 已知\(f(x)=a(x+1)^2-4\ln x\) (1)若\(a=\dfrac{1}{2}\)，求曲线\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程 (2)若对任意的\(x\in[1,e],f(x)< 1\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围 (1)\(a=\dfrac{1}{
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摘要：很综合的一道类偏移结合放缩 已知函数\(f(x)=xe^x-\ln(x+1),g(x)=2\ln(x+1)-a\sin x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a>2,\)函数\(h(x)=f(x)+g(x)\) (i)证明：\(h(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi
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摘要：利用极限找点 定义函数满足\(f(x_0)=f^{\prime}(x_0)\)的实数\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的然点，已知\(f(x)=(\ln x+a)e^{-x}\) (1)证明：\(\forall a\in\mathbb{R}\)，函数\(y=f(x)\)必有然点 (2)设\(x
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摘要：非常好的一道界值分析，数学分析浓郁的综合性题 已知函数\(f(x)=e^{1-x}-ax\ln x,a>\dfrac{1}{4}\) (1)若\(f(x)\leq 3-2x\)，求\(a\) (2)证明：\(f(x)\leq 1-(a+1)\ln x\) (3)证明：\(f(m)+f\left(\d
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摘要：隐零点、同构、必要性探路三法解决 已知函数\(f(x)=e^{x-1}-a\ln x\) (1)当\(a=-1\)，求曲线\(y=f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线方程 (2)当\(a>0\)，若不等式\(f(x)\geq a+a\ln a\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 (1)\
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摘要：参变分离，切线放缩 已知函数\(f(x)=e^x-x-1\) (1)讨论\(f(x)\)的单调性 (2)当\(x\geq 0,\)时\(f(2x)\geq 4x^3-ax^2\)，求\(a\)的取值范围 解 (1)略 (2)\(e^{2x}-2x-1\geq 4x^3-ax^2\) 当\(x=0\)
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摘要：类隐零点与切线放缩，越复杂越不怕 已知函数\(f(x)=\ln x-ax(x-1)\) (1)当\(a\leq 0\)时，探究\(f(x)\)的零点个数 (2)当\(a>0\)时，证明:\(f(x)\leq\dfrac{2+a}{\sqrt{a^2+8a}-a}-\dfrac{3}{2}\) (1)
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摘要：常规的一道证明 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x+(1-a)x+1\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)当 \(a=1\)，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\) 解 (1) \(f^{\prime}(
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摘要：有界性，第三问有点问题，没说明数列的唯一性 已知函数\(f(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{x+1}},g(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) (1)求\(f(x)\)单调增区间 (2)证明：\(-\dfrac{1}{4}<g(x)<1\) (3)设\(x_1=\sqrt2,x_{
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摘要：常见的处理技巧与端点效应 已知函数\(f(x)=(x-1)\ln(x-2)-a(x-3)\)，若当\(x>3\)，\(f(x)>0\)恒成立，求\(a\)范围 解 \((x-1)\ln(x-2)-a(x-3)>0\) 即\(\ln(x-2)-a\dfrac{x-3}{x-1}>0\) 记\(g(x)
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摘要：换主元，常用放缩与有界放缩 已知函数\(f(x)=a^2e^x-3ax+2\sin x-1\) (1)若\(f(0)\)是函数\(f(x)\)的极值，求实数\(a\)的值 (2)证明，当\(a\geq 1\)时，\(f(x)\geq 0\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=a^2e^x-3
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摘要：很适合作为改革后的第19题 已知函数\(f(x)=x-\ln(x+a)\)的最小值为\(0,a>0\) (1)求\(a\) (2)\(\forall x\geq 0,f(x)\leq kx^2\)成立，求\(k\)最小值 (3) 证明:\(\displaystyle\sum\limits_{i=1}
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摘要：一题多解,换主元、隐零点 已知函数\(f(x)=\ln x-x+a-1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\)取值范围 (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(f(x)\leq \dfrac{(x-1)e^x-xe^a}{e^a}\) 解 (1) 因\(f(1)=a-2\)，
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摘要：难度很大的估值问题 已知\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) (1)求\(f(x)\)最小值 (2)当\(0<x<1\)时，若\(\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{a}{x+2}\)恒成立，求\(a\)范围 (3)证明:\(\displaystyle\sum\
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摘要：高考题还是质量高，观察式子进行选值放缩 已知函数\(f(x)=xe^{ax}-e^x\) (1)当\(x>0\)时，\(f(x)<-1\)，求\(a\)取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\dfrac
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摘要：浙江地区出的题太难，上积分了 设函数\(f(x)=\ln(x+1)-a\ln x-b,a>0,b\in\mathbb{R}\) (1)对任意\(0<a<1\)，函数\(f(x)\)有两零点，求\(b\)的取值范围 (2)设\(n\geq 2,n\in\mathbb{N}^{\star}\)，证明:\
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摘要：端点效应难在放缩语言的叙述 已知函数\(f(x)=\ln x+ax^2-x+a+1\)，若\(f(x)\leq e^x\)，求\(a\)取值范围 解 \(\ln x+ax^2-x+a+1-e^x\leq 0\) 记\(g(x)=\ln x+ax^2-x+a+1-e^x,g(1)=2a-e\leq 0
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摘要：典型一道切割线放缩 已知函数\(f(x)=x\ln x\)，并且\(f(x)=b\)有两个实数根\(x_1,x_2,x_1<x_2\)，证明：\(be+1<x_2-x_1<\dfrac{e^{-3}+2+3b}{2}\) 解 不难做出\(y=x\ln x\)的图像 右边切线放缩： \(f^{\pri
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摘要：有点硬凑的找点问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{2}e^{2x}+(a-2)e^x-\dfrac{x^2}{2}\) (1)讨论\(f^{\prime}(x)\)单调性 (2)若\(x_1,x_2\)是\(f(x)\)的极值点，证明:\(x_2-x_1<\ln(3-a)-\ln a+\
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摘要：切线放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+(a-m-1)x-ax\ln x\) (1)若\(m=-1\)时，\(y=f(x)\)不是单调函数，求\(a\)范围 (2)若\(a=2,m<0\)时，\(f(x)\)存在两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明：\(x
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摘要：端点效应与适当放缩 已知函数\(f(x)=e^x+\cos x-2,g(x)=\sin x\) (1)证：当\(x>0\)时，\(g(x)<x<f(x)\) (2)若\(x>0,f(x)+g(x)>ax\)恒成立，求\(a\)的取值范围. 解 (1)左边经典不等式，略 右边：\(x<e^x+\cos
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摘要：找点问题，着重于常用放缩的应用与极限思想 已知函数\(f(x)=(x-1)e^x-a\ln x\) (1)当\(a=e\)，求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(f(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=(x-1)e^x-e\ln x,f^{\prime}(x)=xe
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摘要：越丑的结构，就想到同构 已知函数\(f(x)=ke^x+(\ln x)^2-x\),若\(f(x)\geq (x+\ln k)^2\)，恒成立，求\(k\)取值范围 解 原不等式为\(ke^x+(\ln x)^2-x\geq(x+\ln k)^2\) 即\(e^{\ln k+x}-(x+\ln k)
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摘要：双变量的常规处理，但要注意齐次 \(f(x)=\dfrac{a}{x^2}+2\ln x\) (1)求\(f(x)\)单调性 (2)若\(f(x)\)存在两个不同零点，证明：\(x_1f^{\prime}(x_1)+x_2f^{\prime}(x_2)>4\ln\dfrac{a}{2}+4\) 解
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摘要：洛必达法则 已知定义在\((0,+\infty)\)上的函数\(f(x)=\ln(x+1),g(x)=\sqrt{x}\) (1)证明:\(f(x)<g(x)\) (2)设\(\varphi(x)=\left[\dfrac{4}{g^2(x)}+t\right]f(x)\)在\((0,+\infty
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摘要：稀疏平常的一道比值代换 已知函数\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}ax^2\) (1)若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，求\(a\)范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点分别为\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，当\(\lambda>1\)证明:\(
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摘要：隐零点的多次转化 已知函数\(f(x)=e^x-a\ln(x+1)\) (1)若\(f(x)\)的最值为\(a\)，求\(a\) (2)当\(a=\dfrac{1}{e^n}(n\in\mathbb{N})\)时，证明：\(f(x)\geq (n+1)a\) 解 (1) 由费马定理，连续函数在开区间
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摘要：难难难的双参问题 已知函数\(f(x)=\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{2}\) (1)当\(x>0\)，比较\(f(x)\)与\(x\)的大小 (2)若函数\(g(x)=\cos x+\dfrac{x^2}{2}\)，且\(f\left(e^{\frac{a}{2}}\right)=g(
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摘要：常规的零点分析 已知函数\(f(x)=\dfrac{ax}{e^x}+\dfrac{1}{2}x^2-x(a>0)\) (1)若\(f(x)<\dfrac{1}{2}x^2-\ln x\)恒成立，求\(a\)的范围 (2)讨论\(f(x)\)的零点个数 解 (1)\(f(x)<\dfrac{1}{2
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摘要：技巧用全的双变量问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a(x+1)}{e^x}+\ln x\) (1)若\(f(x)\)是单调递增的，求\(a\)的范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点(\(x_1>x_2>0\))，证明:\(a(x_1^2+x_2^2)>2\sqrt{e}\) 解 (1)
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摘要：放缩找点、多次隐零点代换 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2\left(\ln x-\dfrac{1}{2}\right)+ax(\ln x-1),a\neq 0\) (1)若\(a>0\)，证明:\(f(x)\)有唯一的零点 (2)若\(f(x)>0\)，求实数\(a\)的取值范
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摘要：端点效应与放缩 已知函数\(f(x)=(ax^2+x+a)e^{-x}(a\in\mathbb{R})\) (1)若\(a\geq 0\)，函数\(f(x)\)的极大值为\(\dfrac{3}{e}\)，求\(a\) (2)对任意的\(a\leq 0\),\(f(x)\leq b\ln(x+1)\)
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摘要：简单的同构 已知函数\(f(x)=(2-a-ax)e^x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a=1\)，证明:\(f(x)+e^x\ln(x+1)\leq x+1\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=(2-ax-2a)e^x\) Case1 当\(a=0\)时，\(f(x
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摘要：简单的但难于计算的二次函数形双参问题 已知函数\(f(x)=x^2-ax+2\ln x\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)已知\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\)，证明:$2f(x_1)-f(x_2)\geq -3\ln 2 $ 解 (1)\(f^{\
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摘要：同构、隐零点 已知函数\(f(x)=x\ln x+(t-1)x-t\) (1)当\(t=0\)，讨论\(f(x)\)的极值 (2)若\(F(x)=f(x)-\dfrac{e^x}{e^t}\)有两个不同的极值点，求\(t\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=x\ln x-x\)，\(f^{\pri
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摘要：类二次函数与隐零点 已知函数\(f(x)=x(x-3)+(x+2)e^x\) (1)求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(g(x)=f(x)+x\left(3-\dfrac{3}{2}x\right)+\ln x+e^x(x^2-3x-1)\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 (1)\(f^{\
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摘要：简单的参变分离 已知函数$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ (1)讨论\(f(x)\)的最值； (2)若函数\(g(x)=e^x+x^4f(x)-x^2-ax\)有两个零点，求\(a\)的范围 解 (1)\(f(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\) 得\(f^{\p
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摘要：打开绝对值，隐零点 已知函数\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}\) (1)讨论\(f(x)\)零点个数 (2)当\(a>0\)时，\(|f(x)|>1+\ln x\)，求\(a\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{x}=0\) 即\(ax=e^{-x}\
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摘要：看着吓人，式子变形 设\(f(x)=e^x,g(x)=\ln x\) (1)已知\(e^x\geq kx\geq \ln x\)恒成立，求\(k\)取值范围 (2)已知直线\(l\)与曲线\(f(x),g(x)\)分别切于点\((x_1,f(x_1)),(x_2,g(x_2))\)，其中\(x_1>
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摘要：简单的一道 已知\(f(x)=e^{x+a}-\dfrac{e^2}{2}a^2x(a>0)\) (1)求\(f(x)\)极小值点的最大值 (2)证明:当\(x\geq 0\),\(f(x)>e^x\)恒成立 解 (1)\(f^{\prime}(x)=e^{x+1}-\dfrac{e^2}{2}a^
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摘要：函数\(f(x)=\dfrac{e^x}{x}-a\)的图像与\(x\)轴的两交点为\(A(x_1,0),B(x_2,0)(x_2>x_1)\) (1)令\(h(x)=f(x)-\ln x+x\)，若\(h(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 (2)证明:\(x_1x_2<1\) (3)证明
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摘要：隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le
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摘要：隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le
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摘要：常规比值代换，极值点偏移 已知函数\(f(x)=x\ln x-a(2x^2+1)\) (1)若\(a=-1\)，求\(f(x)\)在\(x=-1\)处的切线 (2)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\) (i)求\(a\)的范围 (ii)证明:\(3x_1-x_2
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