每日导数36

高考数学里的微分学思想

已知函数\(f(x)=e^x-ax^3-x-2\)

\((1)\)当\(a=0\)，求\(f(x)\)的单调区间与极值

\((2)\) 若\(a\leq \dfrac{1}{6}\)，证明:当\(x_1,x_2\in[0,+\infty)\)，且\(x_1>x_2\)时，\(\dfrac{f^{\prime}(x_1)+f^{\prime}(x_2)}{2}>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)

\((1)\) \(a=0,f(x)=e^x+x-2,f^{\prime}(x)=e^x-1\)

则\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增

\((2)\) 原不等式：\(\left(x_1-x_2\right)\left[f^{\prime}(x_1)+f^{\prime}(x_2)\right]-2\left[f(x_1-f(x_2)\right]>0\)

分析：这里我尝试了下，并不能把含有\(x_1\)的部分都分开，一边只含\(x_1\)一边只含\(x_2\)

那么这里，我便考虑到了之前大学在学《数学分析》课程中解决微分学证明时候常用的一个技巧

对于两个元的不等式，同时又给了两个元的大小的话，那么直接令其中一个元为未知数，另外一

个元当成一个参数处理，那么这个设定的元\(x\)要么大于本来那个值，要么小于本来那个值，再利用

原本的\(f(x_1)\)与\(f(x_2)\)的大小去判断新函数的单调性，么最后讨论应该是可以写出来的.在此之前，要

先看看\(a\leq \dfrac{1}{6}\)能得出什么信息.

下面叙述下过程语言：

\(f^{\prime}(x)=e^x-3ax^2-1,f^{\prime\prime}(x)=e^x-6ax,f^{\prime\prime\prime}(x)=e^x-6a\)

因\(a\leq \dfrac{1}{6}\)，从而\(f^{\prime\prime\prime}(x)\geq 0\)

进而\(f^{\prime\prime}(x)\geq f^{\prime\prime}(0)=1\geq 0\)

进而\(f^{\prime}(x)>f^{\prime}(0)=0\)

进而\(f(x)\)单调递增

进而\(f(x_1)>f(x_2)\)

设函数\(g(x)=(x-x_2)\left[f^{\prime}(x)+f^{\prime}(x_2)\right]-2f(x)+2f(x_2),x\geq x_1>x_2\)

这里可以再分析下:\(g(x_2)=0\)，从而因该要说明\(g(x)\)是单调递增的

考虑\(g^{\prime}(x)=（x-x_2)f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x_2)\)

\(g^{\prime\prime}(x)=2f^{\prime\prime}(x)+(x-x_2)f^{\prime\prime\prime}(x)>0\)

从而\(g^{\prime}(x)>g^{\prime}(x_2)=0\)

从而\(g(x)>g(x_2)=0\)

得证.