每日导数3

新颖地利用切线拟合零点

已知函数\(f(x)=\ln x+ax(a\in\mathbb{R})\)

(1)讨论函数\(y=f(x)-a\)的零点个数

(2)若\(a>-1\)且函数\(y=f(x)-a\)有两个零点\(x_1，x_2\)证明：\(|x_1-x_2|<\left(\dfrac{2}{a}+1\right)^2\)

解

\((1)\)
\(f(x)-a=0\) 等价于 \(\ln x=a-ax=-a(x-1)\)

因\(y=\ln x\)与\(y=x-1\)相切

从而\(-a=1\)或\(-a<0\)时，只有一个零点

即\(a=-1\)或\(a\geq0\)时，只有一个零点

\(a\neq -1\)且\(a< 0\)有两个零点

\((2)\) 由\((1)\)得\(x=1\)是\(y=0\)的一个零点

不妨设\(x_1=1\).

令\(g(x)=\ln x+ax-a\)，则\(g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+a\)

即\(g(x)\)在\(\left(0,-\dfrac{1}{a}\right)\)单调递增，\(\left(-\dfrac{1}{a},+\infty\right)\)单调递增

这里\(x_2\)不好利用零点存在定理判断出大概范围

因此利用切线的放缩，来估计\(x_2!!!\)(难难难，本人没想到)

因\(g^{\prime}\left(-\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{a}{2},g\left(-\dfrac{2}{a}\right)=\ln\left(-\dfrac{2}{a}\right)-2-a\)

从而\(g(x)\)在\(x=-\dfrac{a}{2}\)的切线是$$y=\dfrac{a}{2}\left(x+\dfrac{2}{a}\right)+\ln\left(-\dfrac{1}{a}\right)-2-a$$

取\(y=0\)有\(x_3=2+\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\left(-\dfrac{2}{a}\right)\)

不难说明\(x_3>x_2\)

从而\(|x_1-x_2|=x_2-1<x_3-1\)

若能说明$$x_3-1<\left(\dfrac{2}{a}+1\right)^2$$
则原题得证

即$$1+\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\left(-\dfrac{2}{a}\right)<\left(\dfrac{2}{a}+1\right)^2$$

令\(-\dfrac{2}{a}=t\)则原不等式转化为

\[1-t+t\ln t<(t-1)^2(t>2) \]

令\(\varphi(t)=1-t+t\ln t-(t-1)^2=t(\ln t+1-t)\)

因有不等式\(\ln x\leq x-1\)

从而\(\varphi(t)=t(\ln t+1-t)<0\)

所以不等式得证！\(\square\)