每日导数88

看着吓人，式子变形

设\(f(x)=e^x,g(x)=\ln x\)

(1)已知\(e^x\geq kx\geq \ln x\)恒成立，求\(k\)取值范围

(2)已知直线\(l\)与曲线\(f(x),g(x)\)分别切于点\((x_1,f(x_1)),(x_2,g(x_2))\)，其中\(x_1>0\)

(I)求证:\(e^{-2}<x_2<e^{-1}\)

(II)已知\((\lambda x_2-x+1)e^x+x\leq 0\)对任意 \(x\in[x_1,+\infty)\)恒成立，求\(\lambda\)取值范围.

解

(1)因\(e^x,\ln x\)互为反函数，并且\(y=ex\)与\(e^x\)相切，\(y=\dfrac{1}{e}x\)与\(\ln x\)相切,则\(k\in\left[\dfrac{1}{e},e\right]\)

(2)

(I)由题设\(l\)的斜率为\(k\)，则有

\[\dfrac{\ln x_2-e^{x_1}}{x_2-x_1}=e^{x_1}=\dfrac{1}{x_2} \]

则有$$\dfrac{\ln x_2-\dfrac{1}{x_2}}{x_2-(-\ln x_2)}=\dfrac{1}{x_2}$$

整理有$$x_2\ln x_2-\ln x_2-x_2-1=0$$

记\(\varphi(t)=t\ln t-\ln t-t-1,\varphi^{\prime}(t)=\ln t+1-\dfrac{1}{t}-1=\ln t-\dfrac{1}{t}\)单调递增

而\(\varphi^{\prime}(e^{-1})=-1-e<0\)

则\(\varphi(t)\)在\((0,e^{-1})\)上单调递减

而

\[\varphi(e^{-2})=-2e^{-2}+2-e^{-2}-1=1-e^{-2}>0,\varphi(e^{-1})=-e^{-1}+1-e^{-1}-1=-2e^{-1}<0 \]

从而由零点存在定理，则\(t\in(e^{-1},e^{-2})\)，即\(x_2\in(e^{-1},e^{-2})\)

(II)由(I)，得\(x_1\in(1,2)\)

原不等式转化为\(\lambda x_2\leq -xe^{-x}+x-1\)

记\(\gamma(x)=-xe^{-x}+x-1,\gamma^{\prime}(x)=e^{-x}(x-1)+1=\dfrac{x-1+e^x}{e^x}>\dfrac{x-1+x+1}{e^x}=\dfrac{2x}{e^x}>0\)

则\(\lambda x_2\leq \gamma(x)\leq \gamma(x_1)=-x_1e^{-x_1}+x_1-1\)

即\(\lambda\leq -x_1+(x_1-1)e^{x_1}\)

记\(F(t)=-t+(t-1)e^t,F^{\prime}(t)=te^t-1>0\)

则\(\lambda\leq F(t)<F(0)=-1\)

注：下面答案的第三问写法，比我的答案范围大，目前看不出我错在哪里.

由(I)得\(e^{x_1}(x_1-1)=x_1+1\)

前面都一样，则有\(\lambda x_1\leq\gamma(x) \leq \gamma(x_1)=\dfrac{e^{x_1}(x_1-1)-x_1}{e^{x_1}}=\dfrac{1}{e^{x_1}}\)

则\(\lambda\leq 1\)