每日导数70

找点问题，着重于常用放缩的应用与极限思想

已知函数\(f(x)=(x-1)e^x-a\ln x\)

(1)当\(a=e\)，求\(f(x)\)的最小值

(2)若\(f(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围

解

(1)\(f(x)=(x-1)e^x-e\ln x,f^{\prime}(x)=xe^x-\dfrac{e}{x}\)单调递增

而\(f^{\prime}(1)=0\),从而不难得到\(x=1\)是\(f(x)\)的极小值点，也就是最小值

\(f(x)_{\min}=f(1)=0\)

(2)分析：可以转化为\(y=(x-1)e^x\)与\(y=a\ln x\)图像交点问题

而由图像来看这个结果是显然的，立马可以得到\(a>0\)，同时又根据(1)

可以得到\(a\neq e\)，则\(a>0\)且\(a\neq e\)是所求范围.但是大题不难用简单的图形

说明，不严谨，下面用严谨的数学语言说明.

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首先，我们发现\(f(1)=0\)

\(f^{\prime}(x)=xe^x-\dfrac{a}{x}=\dfrac{x^2e^x-a}{x}\)

记\(g(x)=x^2e^x-a\)，

当\(a\leq 0\)时，\(f^{\prime}(x)\)恒为正，则\(f(x)\)单调递增

从而不可能有两个零点，不和题

当\(a\geq 0\)时，\(g(x)=x^2e^x-a\)单调递增，并且\(g(0)=-a<0\)

而 \(g(x)=x^2e^x-a>ex^3-a\)

取\(x=\sqrt[3]{a}\)，有\(g\left(\sqrt[3]{a}\right)>ea-a>0\)

从而得到\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上唯一零点，记作\(x_0\)

并且有\(f(x)\)在\((0,x_0)\)上减，在\((x_0,+\infty)\)上增

则\(f(x)_{\min}=f(x_0)=(x_0-1)e^{x_0}-a\ln x_0\)

Case1 由(1)，当\(a=e\)时，\(f(x)_{\min}=0\)，此时只有一个零点.

Case2 当\(a>e\)时，\(g(1)=e-a<0\)，从而\(x_0>1\)，并且\(f(x_0)<0\)

现在说明，在\(x>x_0\)上还有一个零点

\(f(x)=(x-1)e^x-a\ln x>(x-1)(x+1)-a(x-1)=(x-1)(x+1-a)\)

取\(x=a-1>1\)，则\(f(a-1)>0\)

从而由零点存在定理，在\((x_0,a-1)\)上有一个零点，并且是唯一的

Case3 当\(0<a<e\)时，\(g(1)=e-a>0\)，则\(0<x_0<1\)，并且\(f(x_0)<0\)

现在说明，在\(x\in(0,x_0)\)上有一个零点

因\(x\to 0,f(x)\to +\infty\)，从而\(f(x)\)在\((0,x_0)\)上存在零点，并且是唯一的

综上\(a>0\)且\(a\neq e\)合题.

Case3没有用严谨的初等数学放缩找点，多少有些瑕疵.