每日导数34

保号性辅助临界点分析

已知函数\(f(x)=x\ln x+a(x^3-x)\)

\((1)\) 讨论\(\dfrac{f(x)}{x}\)的单调性

\((2)\) 已知\(g(x)=2x-e^{x-1}-1\)，若\(f(x)\geq g(x)\)恒成立，求\(a\)的值.

解

\((1)\) 记\(h(x)=\dfrac{f(x)}{x}=\ln x+a(x^2-1),h^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+2ax=\dfrac{2ax^2+1}{x}\)

当\(a\geq 0\)，\(h^{\prime}(x)>0\)，从而\(g(x)\)单调递增

当\(a<0\)时，不难得到\(h(x)\)在\(\left(0,\sqrt{-\dfrac{1}{2a}}\right)\)上单调递增，在\(\left(\sqrt{-\dfrac{1}{2a}},+\infty\right)\)上单调递减

\((2)\) \(f(x)\geq g(x)\)即\(x\ln x+a(x^3-x)-e^{x-1}-2x+1\geq 0\)

记\(\varphi(x)=x\ln x+a(x^3-x)+e^{x-1}-2x+1,\varphi^{\prime}(x)=\ln x+1+a(2x^2-1)+e^{x-1}-2\)

不难发现\(\varphi(1)=0\)

分析过程：\(\lim\limits_{x\to 0}\varphi(x)\to 1+e^{-1}>0,\lim\limits_{x\to+\infty}\varphi(x)\to+\infty\)

则大概率，图像是先递减再递增，并且\(x=1\)是极小值点，从而\(\varphi^{\prime}(1)=0\)

即\(2a=0\)即\(a=0\).因此，我们的思路就是说明下\(a<0\)跟\(a>0\)时都有一段为负，再说明\(a=0\)成立

那么这里如果高视角来看的话就是利用极限的保号性可以立马说明.

现在我们叙述下语言：

当\(a<0\)时，\(\varphi^{\prime}(1)<0\)，如果直接利用保号性来说明，那么就有：

存在\(x=1\)的左右领域\((1-\delta,1+\delta)\)上\(\varphi^{\prime}(x)<0\)

从而在\((1,1+\delta)\)上\(\varphi(x)\)单调递减，从而\(\varphi(x)<\varphi(1)<0\)

不合题，舍去.

当\(a>0\)时，\(\varphi^{\prime}(x)>0\)，从而利用保号性质，一定存在\(x\)的左右领域\((1-\delta,1+\delta)\)上\(\varphi^{\prime}(x)>0\)

进而在\(x\in(1-\delta,1)\)上，\(\varphi(x)<\varphi(1)=0\)不合题

现在，说明\(a=0\)是所满足的条件

\(a=0\)时，\(\varphi(x)=x\ln x+e^{x-1}-2x+1\)

而\(x\ln x+e^{x-1}-2x+1\geq x\ln x+x-1+1-2x+1=x\ln x-x+1\)

记\(\gamma(x)=x\ln x-x+1,\gamma^{\prime}(x)=\ln x\)

从而\(\gamma(x)\geq \gamma(1)=0\)

则\(\varphi(x)\geq 0\)

综上，\(a=0\).