每日导数20

简单构造，考察眼睛

x^2-a\ln x+(1-a)x+1$

\((1)\) 讨论函数的单调性

\((2)\) 当\(a=1\)时，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\)

解

\((1)\) \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{a}{x}+1-a=\dfrac{x^2+(1-a)x-a}{x}=\dfrac{(x-a)(x+1)}{x}=0\)

得\(x_1=-1,x_2=a\)

当\(a=-1\)时，\(f(x)\)单调递增

当\(a>-1\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)和\((a,+\infty)\)上单调递增，在\((-1,a)\)上单调递减

当\(a<-1\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,a)\)和\((-1,+\infty)\)上单调递增，在\((a,-1)\)上单调递减

\((2)\)原不等式为\(\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x+(1-a)x+1\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\)

即\((2-a)\ln x+(2-a)x+1\leq xe^x\)

即\((2-a)(\ln x+x)\leq xe^x-1\)

即\((2-a)\ln xe^x\leq xe^x-1\)

记\(xe^x=t\)，即\((2-a)\ln t\leq t-1,(t>0)\)

又因\(a=1\)，所以原式为

\(\ln t\leq t-1\)，此为一个重要放缩，证明略.

得证！