每日导数78

技巧用全的双变量问题

已知函数\(f(x)=\dfrac{a(x+1)}{e^x}+\ln x\)

(1)若\(f(x)\)是单调递增的，求\(a\)的范围

(2)若\(f(x)\)有两个极值点(\(x_1>x_2>0\))，证明:\(a(x_1^2+x_2^2)>2\sqrt{e}\)

解

(1)\(f(x)=a(x+1)e^{-x}+\ln x,f^{\prime}(x)=-axe^{-x}+\dfrac{1}{x}\geq 0\)

即\(a\leq e^{-x}<1\)

(2)由(1)\(f^{\prime}(x)=-axe^{-x}+\dfrac{1}{x}\)，即

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x_1}=ax_1e^{x_1}\\ \dfrac{1}{x_2}=ax_2e^{x_2} \end{cases}\)，做比有\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1}{x_2}e^{x_1-x_2}\)，做乘整理有\((ax_1x_2)^2=e^{-(x_1+x_2)}\)

记\(\dfrac{x_2}{x_1}=t\)，则\(x_2=x_1t\)，则有\(t=\dfrac{e^{x_1(1-t)}}{t}\)

则\(t^2=e^{x_1(1-t)}\)，即\(2\ln t=x_1(1-t)\)

即\(x_1=\dfrac{2\ln t}{1-t}\)，则\(x_2=\dfrac{2t\ln t}{1-t }\)

因\(a(x_1^2+x_2^2)>2ax_1x_2\)

则要证:\(a(x_1^2+x_2^2)>2\sqrt{e}\)

即证:\(ax_1x_2>\sqrt{e}\)

即证:\((ax_1x_2)^2>e\)

即证:\(e^{-(x_1+x_2)}>e\)

即证:\((x_1+x_2)<-1\)

即证:$ \dfrac{2\ln t}{1-t}+\dfrac{2t\ln t}{1-t
}<-1$

即证:\(2\ln t+2t\ln t-t+1>0,t>1\)恒成立

记\(\varphi(t)=2\ln t+2t\ln t-t+1>0,\varphi^{\prime}(t)=\dfrac{2}{t}+2\ln t+1>0\)

则\(\varphi(t)\)单调递增，\(\varphi(t)>\varphi(1)=0\)

得证!