每日导数84

类二次函数与隐零点

已知函数\(f(x)=x(x-3)+(x+2)e^x\)

(1)求\(f(x)\)的最小值

(2)若\(g(x)=f(x)+x\left(3-\dfrac{3}{2}x\right)+\ln x+e^x(x^2-3x-1)\)，求\(g(x)\)的零点个数

解
(1)\(f^{\prime}(x)=2x+e^x(x+3)-3\)单调递增，同时\(f^{\prime}(0)=0\)

则\(x=0\)是\(f^{\prime}(x)\)唯一的零点并且是\(f(x)\)的最小值点，\(f(x)_{\min}=f(1)=3e-2\)

(2)\(g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+e^x(x-1)^2+\ln x,g^{\prime}(x)=-x+e^x(x^2-1)+\dfrac{1}{x}\)

分析：\(x\to 0,g(x)\to-\infty,x\to +\infty,g(x)=+\infty,x\to 0,g(1)=-\dfrac{1}{2}<0,g^{\prime}(x)\to+\infty,x\to +\infty,g^{\prime}(x)\to +\infty,g^{\prime}(1)=0\)，按照这些分析大概试作出草图，发现很大概率就是一个零点，并且这个零点大于1

\(g^{\prime}(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x}+e^x(x^2-1)=\dfrac{(x^2-1)(xe^x-1)}{x}=\dfrac{(x-1)(x+1)(xe^x-1)}{x}\)

考虑\(\gamma(x)=xe^x-1,\gamma^{\prime}(x)=e^x(x+1)>0\)

则\(\gamma(x)\)单调递增，\(\gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{e}}{2}-1<0,\gamma(1)=e-1>0\)

则得\(\gamma(x)\)有唯一的零点\(x_0\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)\)

进而得到\(g^{\prime}(x)\)在\((0,x_0)\)和\((1,+\infty)\)上正，在\((x_0,1)\)上负

进而\(g(x)\)在\((0,x_0)\)和\((1,+\infty)\)上增，在\((x_0,1)\)上减

计算
\(g(x_0)=-\dfrac{1}{2}x_0^2+e^{x_0}(x_0-1)^2+\ln x_0\)

\(=-\dfrac{1}{2}x_0^2+\dfrac{1}{x_0}\left(x_0^2-2x_0+1\right)-x_0\)

\(=-\dfrac{1}{2}x_0^2+\dfrac{1}{x_0}-2\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left(x_0^2-\dfrac{2}{x_0}+4\right)\)
\(<-\dfrac{1}{2}\left(1-2+4\right)\)
\(=-\dfrac{1}{2}\)
\(<0\)

因\(g(1)<0\),在\(x>1\)上,\(g(e)=-\dfrac{1}{2}e^2+e^e(e-1)^2+1>0\)

则由零点存在定理，\(g(x)\)在\((1,+\infty)\)存在至少一个零点

因\(g(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增

则此零点是唯一的

综上\(g(x)\)只有一个零点.