每日导数38

找点问题，第一次尝试着不用极限去做

已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1\)

\((1)\) 求\(f(x)\)的最小值

\((2)\) 若\(g(x)=x^2[f(x)+1-a]-x+a\)，求\(g(x)\)的零点个数

解

\((1)\) \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}\)

从而\(f(x)\)在\((0,1)\)递减，在\([1,+\infty)\)上递增

则\(f(x)\geq f(1)=0\)

\((2)\) \(g(x)=x^2\left(\ln x+\dfrac{1}{x}-a\right)-x+a=x^2\ln x-ax^2+a=x^2\left(\ln x+\dfrac{a}{x^2}-a\right)\)

记\(h(x)=\ln x+\dfrac{a}{x^2}-a,h^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2a}{x^3}=\dfrac{x^2-2a}{x^3}\)

Case1 当\(a\leq 0\)时，\(h(x)\)单调递增，而\(h(1)=0\)，而其又是单调递增的，从而只有一个零点

Case2 当\(a>0\)时，\(h^{\prime}(x)=0\)得\(x_0=\sqrt{2a}\)，负根舍去

从而\(h(x)\)在\((0,x_1)\)上单调递减，在\((x_1,+\infty)\)上单调递增

考虑\(h(x_1)=h(\sqrt{2a})\)的正负

\(\varphi(a)=h(\sqrt{2a})=\ln\sqrt{2a}-a+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\ln a}{2}-a+\dfrac{1+\ln 2}{2}\)

\(\varphi^{\prime}(a)=\dfrac{1}{2a}-1\)，不难得到\(\varphi(a)\geq \varphi\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\)

从而Case2.1 当\(a=\dfrac{1}{2}\)，\(h(x)\)在\((0,1)\)上递减，在\((1,+\infty)\)上单调递增，而\(h(1)=0\)，此时一个零点

Case2.2 当\(a\neq \dfrac{1}{2}\)时，\(\varphi(a)=h(\sqrt{2a})<0\)

Case2.2.1 \(a\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\)，即\(\sqrt{2a}<1\)

现在开始找一个大于\(0\)的点(分析部分)

因\(\ln x\geq 1-\dfrac{1}{x}\)，从而\(h(x)=\ln x+\dfrac{a}{x^2}-a>\dfrac{a}{x^2}-\dfrac{1}{x}+1-a=\dfrac{(1-a)x^2-x+a}{x^2}\)

记\(\gamma(x)=(1-a)x^2-x+a=\left[(1-a)x-a\right](x-1)\)

因\(a\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right),\dfrac{a}{1-a}<1\)

则得到\(\gamma(x)\)在\(\left(\dfrac{a}{1-a},1\right)\)，上为正

从而\(h\left(\dfrac{a}{1-a}\right)>0\)，找到了点\(\left(\dfrac{a}{1-a},0\right)\)

则由零点存在定理得到，\(h(x)\)在\(\left(\dfrac{a}{1-a},\sqrt{2a}\right)\)上有唯一零点

在\(x>\sqrt{2a}\)上，因\(h(1)=0\)，从而在\(x>\sqrt{2a}\)上有唯一零点

从而，\(a\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\)有两个零点

Case2.2.2 当\(a\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)时，则\(\sqrt{2a}>1\)

因\(h(1)=0\)，则\(h(x)\)在\((0,\sqrt{2a})\)上有唯一零点

与上面一样，因\(a\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right),\dfrac{a}{1-a}>1\)

从而\(h\left(\dfrac{a}{1-a}\right)>0\) ，则由零点存在定理，\(h(x)\)在\(\left(\sqrt{2a},\dfrac{a}{1-a}\right)\)上有一个零点

从而\(a\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)上有两个零点

综上\(a=\dfrac{1}{2}\)或\(a\leq 0\)只有一个零点

\(a>0\)且\(a\neq \dfrac{1}{2}\)，有两个零点.