每日导数66

典型一道切割线放缩

已知函数\(f(x)=x\ln x\)，并且\(f(x)=b\)有两个实数根\(x_1,x_2,x_1<x_2\)，证明：\(be+1<x_2-x_1<\dfrac{e^{-3}+2+3b}{2}\)

解

不难做出\(y=x\ln x\)的图像

右边切线放缩：

\(f^{\prime}(x)=\ln x+1\)，设\(f(x)\)在 \(x=e^{-3}\)的切线为\(l_1\)，在\(x=1\)的切线为\(l_2\)

则\(l_1:y=-2x-e^{-3},l_2=y=x-1\)

则\(l_1,l_2\)与\(y=b\)相交得到的两点横坐标分别为\(x_1^{'}=1+b,x_2^{'}=\dfrac{b+e^{-3}}{-2}\)

则有\(x_2-x_1<x_2^{'}-x_1^{'}=\dfrac{e^{-3}+2+3b}{2}\)

右边得证

左边割线放缩：

设\(A\)为\(f(x)\)的极小值点，则\(A:\left(e^{-1},-e^{-1}\right),C(1,0)\)

则\(OA:y=-x,AC:y=\dfrac{1}{e-1}(x-1)\)

从而 则\(OA,AC\)与\(y=b\)相交得到的两点横坐标分别为\(x_1^{''}=-b,x_2^{''}=b(e-1)+1\)

从而\(be+1=x_1^{''}-x_2^{''}<x_1-x_2\)

左边得证.