每日导数76

难难难的双参问题

已知函数\(f(x)=\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{2}\)

(1)当\(x>0\)，比较\(f(x)\)与\(x\)的大小

(2)若函数\(g(x)=\cos x+\dfrac{x^2}{2}\)，且\(f\left(e^{\frac{a}{2}}\right)=g(b)-1(a>0,b>0)\)，证明:\(f(b^2)+1>g(a+1)\)

解

(1)做差，记\(\varphi(x)=f(x)-x=\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{2}-x\)

\(\varphi^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x+1}+x-1=\dfrac{1}{x+1}+x+1-2\geq 2-2=0\)

从而\(\varphi(x)\)单调递增，则\(\varphi(x)\geq \varphi(0)=0\)

从而\(f(x)\geq x\)

(2)设\(h(x)=f(x)+1-g(x)=\ln(1+x)+1-\cos x\)，

当\(x>0\)时，\(1-\cos x\geq 0,\ln(1+x)>0\)，则\(h(x)>0\)恒成立

由\(h\left(e^{\frac{a}{2}}\right)>0\)，得\(f\left(e^{\frac{a}{2}}\right)+1>g\left(e^{\frac{a}{2}}\right)\)

从而\(g(b)>g\left(e^{\frac{a}{2}}\right)\)

不难证明\(g(x)\)单调递增

则\(g(b)>g\left(e^{\frac{a}{2}}\right)\)得到\(b>e^{\frac{a}{2}}\)

同理\(h(b)=f(b)+1-g(b)>0\)

得\(f(b^2)+1>g(b^2)\)

则要证\(f(b^2)+1>g(a+1)\)

即证:\(g(b^2)>g(a+1)\)

即证：\(b^2>a+1\)

因\(b>e^{\frac{a}{2}}\)，则\(b^2>e^a\)

因\(e^a>a+1\)

则\(b^2>e^a>a+1\)