每日导数32

找点问题

已知函数\(f(x)=\sin2x-\ln(1+x),f^{\prime}(x)\)是\(f(x)\)的导数

\((1)\) 证明；\(f^{\prime}(x)\)在区间\(\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上存在唯一的极大值点;

\((2)\) 讨论\(f(x)\)零点个数.

\((1)\) \(f^{\prime}(x)=2\cos 2x-\dfrac{1}{1+x},f^{\prime\prime}(x)=-4\sin 2x+\dfrac{1}{(1+x)^2}\)

当\(x\in(-1,0)\)时，\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，从而\(f^{\prime}(x)\)在这上面没有零点

当\(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right)\)时，因\(f^{\prime\prime}(x)\)单调递减，而\(f^{\prime\prime}(0)=1,f^{\prime\prime}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)<0\)

从而在\(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上，\(f^{\prime\prime}(x)\)一定存在一个唯一的零点\(x_0\)

并且\(x=x_0\)是\(f^{\prime}(x)\)的极大值点.

\((2)\) 分析：利用三角函数的有界性质：\(|A\sin(\omega x+\varphi)|<|A|\)

在这里，\(A=1\)，从而我们放缩要分析\(\ln(1+x)\)取\(1\)跟\(-1\)的时候的取值

而这里的取点要稍微估计一下：

\(\ln(1+e-1)=1\)，而\(e-1\approx 1.7<\pi\)

先考虑\(x\in(\pi,+\infty)\)上时

\(\ln(1+x)>\ln (1+\pi)>\ln e>1\)

从而\(\sin 2x-\ln(1+x)<1-1=0\)

则\(f(x)\)在\((\pi,+\infty)\)上一定不存在零点

而\(f(0)=0\)，同时由\((1)\)得到了\(f^{\prime}(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上先增再减少

同时\(f^{\prime}(0)=1,f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)<0\)，

则不难得到\(f(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上先增再减少，有最大值

而\(f(0)=0,f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2-\ln\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right)>2-\ln e>1>0\)

从而\(f(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上不存在零点

又因在\(x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上\(f^{\prime}(x)<0\)

从而\(f(x)\)在\(\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上单调递减

而\(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0,f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\ln\left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)<0\)

从而在\(\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)\)上只有一个零点.

再考虑\(\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)上，\(f(x)=\sin 2x-\dfrac{1}{1+x}<0\)

从而在此区间上一定没有零点

最后再考虑\((-1,0)\)上
由\((1)\)得知，\(f^{\prime}(x)\)单调递增

而\(x\to -1,f^{\prime}(x)\to-\infty,f^{\prime}(0)=1\)

从而一定存在唯一的\(m\)使得\(f^{\prime}(m)=0\)，并且\(f(x)\)在\((-1,m)\)减，在\((m,1)\)上增

又因\(x\to —1,f(x)\to+\infty,f(0)=0\)，从而\(f(x)\)在\((-1,0)\)上有且仅存在一个零点.

综上，\(f(x)\)有三个零点.