每日导数43

类似于23新高考一道题，分析出界限

已知函数\(f(x)=\dfrac{x}{e^x},g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，证明：存在直线\(y=b\)，其与两条曲线\(y=f(x),g=g(x)\)共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等比数列

解.

先说明\(b\)的存在性

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{e^x},g^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)

则不难得到\(f(x)\)在\((0,1)\)上增，在\((1,+\infty)\)上减，并且\(f(x)_{\max}=f(1)=\dfrac{1}{e},\lim\limits_{x\to0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\)

\(g(x)\)在\((0,e)\)上增，在\((e,+\infty)\)上减，并且\(g(x)_{\max}=g(e)=e,\lim\limits_{x\to0}g(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\)

分析：因为两个函数都是先增再减的，并且最大值都相同，只是对应的\(x\)不一样，那么如果考虑的不充分的化会发现，\(y=b\)与两条曲线都会各自有两个交点的，从而不符合题设条件，进而一定存在\(x_2\)使得\(f(x_2)=g(x_2)\)，并且还能更加的确定\(1<x_2<e，\)下面我们来说明下：

考虑\(\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{\ln x}{x}\)，
即\(\varphi(x)=\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{\ln x}{x},\varphi(1)=\dfrac{1}{e}>0,\varphi(e)=\dfrac{e}{e^e}-\dfrac{1}{e}<0\)，

并且\(\varphi^{\prime}(x)=\dfrac{1-x}{e^x}-\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0\)，

从而在\(x\in(1,e)\)上有唯一的点\(x_2\)使得\(\dfrac{x_2}{e^{x_2}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}\)

从而取\(b=\dfrac{x_2}{e^{x_2}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}\)，是满足条件的\(b\)

并且\(x_1<1<x_2<e<x_3\)

则有\(\dfrac{x_1}{e^{x_1}}=\dfrac{x_2}{e^{x_2}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=\dfrac{\ln x_3}{x_3}\)

则\(x_2^2=e^{x_2}\ln x_2\)，从而后面便是要说明\(e^{x_2}\ln x_2=x_1x_2\)

因\(\dfrac{x_1}{e^{x_1}}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=\dfrac{\ln x_2}{e^{\ln x_2}}\)

因\(x_2<e\)，则\(\ln x_2<1\)，从而\(x_1=\ln x_2\)

同样的\(\dfrac{\ln e^{x_2}}{e^{x_2}}=\dfrac{x_2}{e^{x_2}}=\dfrac{\ln x_3}{x_3}\)

因\(x_2>1\)，则\(e^{x_2}>e\)，从而\(e^{x_2}=x_3\)

则\(x_1x_3=\ln x_2\cdot e^{x_2}=x_e^2\)