每日导数39

简单的找点问题

已知函数\(f(x)=ax^3+2\sin x-x\cos x\)

\((1)\) 若\(a=-\dfrac{1}{2},x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，证明:\(f(x)\geq 0\)

\((2)\)探究\(f(x)\)在\((-\pi,\pi)\)的极值点个数

解

\((1)\) \(f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+2\sin x-x\cos x,f^{\prime}(x)=-\dfrac{3}{2}x^2+\cos x+x\sin x，f^{\prime\prime}(x)=-3x+x\cos x=x(\cos x-3)<0\)
则\(f^{\prime}(x)\)单调递减，而\(f^{\prime}(0)=1,f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{3\pi^2}{8}+\dfrac{\pi}{2}<0\)，

由零点存在定理，存在唯一的零点\(x_0\)，使得\(f^{\prime}(x_0)=0\)

则\(f(x)\)在\((0,x_0)\)上增，在\(\left(x_0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)上单调递减，因\(f(0)=0,f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi^3}{16}+2>0\)

从而\(f(x)\geq 0\)

\((2)\) 区间对称，考虑奇偶性，因\(f^{\prime}(x)\)是偶函数，所以只考虑\(x\in\left[0,\pi\right)\)上零点个数

\(f^{\prime}(x)=3ax^2+\cos x+x\sin x,f^{\prime\prime}(x)=6ax+x\cos x=x(6a+\cos x)\)

Case1 若\(a\geq \dfrac{1}{6}\)，则\(f^{\prime\prime}(x)\geq 0\)，从而\(f^{\prime}(x)\)单调递增

而因\(f^{\prime}(0)=1>0\)，从而没零点，则没有极值点

Case2 若\(a<\dfrac{1}{6}\)

因\(\cos x\)在\((0,\pi)\)上单调递减，则一定存在一个零点\(x_0\)使得\(f^{\prime\prime}(x_0)=0\)

则\(f^{\prime}(x)\)在\((0,x_0)\)上增，在\((x_0,\pi)\)上减，\(f^{\prime}(\pi)=3a\pi^2-1\)

Case2.1 若\(\dfrac{1}{3\pi^2}<a<\dfrac{1}{6}\)，\(f^{\prime}(\pi)>0\)，没有零点

Case2.2 若\(a\leq \dfrac{1}{3\pi^2}\)，\(f^{\prime}(\pi)\leq 0\)，一个零点

综上:\(a>\dfrac{1}{3\pi^2}\)，没有极值点

\(a\leq \dfrac{1}{3\pi^2}\)，两个极值点