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已知函数$$ f(x)= \begin{cases} \ln x,&x\geqslant1,\ 1-\dfrac{1}{2}x,&x< 1, \end{cases} $$总存在 \(m\in\mathbb R\), 使得关于 \(x\) 的方程 \(f(f(x)+a)=m\) 有四个实数解, 则实数 阅读全文
posted @ 2026-10-30 08:55
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选择题选项三种排版演示 下面三道题目都是在本系统编辑器里手敲的选择题，分别用「竖排 / 两列 / 一行」三种方式排版选项，演示在笔记与博客中的显示效果。 一、竖排（适合选项较长、带公式） 选择题已知函数 $f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，则下列结论正确 阅读全文
posted @ 2026-10-29 23:59
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某公园里有一块边长分别为30米,40米,50米的三角形草坪(记为 \(\triangle ABC\)),点 D,E 在 \(\triangle ABC\) 的边上,线段 \(DE\) 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿 \(DE\) 铺设灌溉水管,则水管的最短长度为\(\underline{\qqu 阅读全文
posted @ 2026-10-29 23:10
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本文由「会飞的鱼的题库系统」一键发布演示，用于验证题库题目图片（TikZ 渲染的 SVG）同步到博客园。 (多选)为调研某校高一年级\(800\) 名学生的物理期末考试成绩, 随机抽取\(100\) 名学生作为样本, 绘制出频率分布直方图, 如图所示, 则 选项： A. \(a=0.020\) B. 阅读全文
posted @ 2026-10-29 18:43
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三角函数专题复习课设计 学情分析 三角函数是高一下学期的重点章节，学生在学完 三角函数诱导公式、正弦定理、余弦定理 后，普遍存在的问题是公式记忆混乱和选定理方向不明确。 课时安排（3课时） 第1课时：公式网络梳理 以 三角函数诱导公式 为核心，让学生自己画出公式推导关系图。 关键活动设计： 用单位圆 阅读全文
posted @ 2026-10-29 18:18
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这个问题每隔一段时间就会在评论区打起来。有意思的是，争论的双方几乎都同意算术， 分歧其实在别的地方：“\(0.999\ldots\)”这串符号到底指什么。 先把符号说清楚 关键在这里：\(0.999\ldots\) 不是一个“写不完的过程”，而是一个已经写完的对象—— 它是那个无穷级数的和，也就是部 阅读全文
posted @ 2026-10-29 13:15
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先给一个场景，别急着算： 某种疾病的发病率是千分之一。医院有一种检测，灵敏度 99%（有病的人里 99% 会呈阳性）， 特异度 99%（没病的人里 99% 会呈阴性）。你去测了一次，结果是阳性。 请问你真正患病的概率是多少？ 大多数人的第一反应是“99% 左右”。正确答案约是 9%。差了整整十倍， 阅读全文
posted @ 2026-10-29 13:15
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\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)。欧拉先猜出又证出，方法是把一个无穷和"伪装"成三角函数。 从正弦的无穷乘积开场 \(\sin x\) 有无穷多个零点 \(n\pi\)，欧拉大胆地把它写成乘积 \[\sin x = x\prod 阅读全文
posted @ 2026-10-29 13:15
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“把信号拆成一堆正弦波”——这句话被重复了太多次，以至于它听起来像一条咒语。 但拆开看，傅里叶变换其实只做了一件事：在一个坐标系里读坐标。 只不过这个坐标系的“轴”不是 \(x\) 和 \(y\)，而是无穷多条不同频率的波。 先回忆投影 平面上的向量 \(v\) 想写成 \(u\) 方向的倍数，怎么 阅读全文
posted @ 2026-10-29 13:15
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\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\) 是高斯函数的招牌结果。这里给三种证法，第三种最"作弊"但也最妙。 经典证法：平方后换极坐标 设 \(I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\)，则 \[I^2 阅读全文
posted @ 2026-10-29 13:15
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