摘要： 表达式 双曲函数 \(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{th} x = \dfrac{e^{x}-e^{- 阅读全文

摘要： Taylor 公式 带 Peano 余项的 Taylor 公式 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导，则在 \(x_0\) 的一个邻域中，对于该邻域中的 \(\forall x\) 成立： \[f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\dfrac 阅读全文

摘要： \(\int x^{\alpha} \; \mathrm{d}x = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \space (\alpha \ne -1)\) \(\int \dfrac{1}{x} \; \mathrm{d}x = \ln x+C \space\) $\i 阅读全文

摘要： 平移、旋转和镜像变换 阅读全文

摘要： 如何求 \(f(x)=x^x\) 的导数？ 整体思路：通过构造对数幂底数改为不含元的 \(e\)，同时利用指数上的对数将 \(x\) 次幂落入真数中从而得到易导的式子。 \[f^\prime(x)=(x^x)^\prime={({(e^{\ln x})}^x)}^\prime={(e^{x \ln 阅读全文

摘要： 平面的方程 点法式方程 给定平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面一法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)，则平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 均满足 \(\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}\) 即： \[a(x-x_0)+ 阅读全文

摘要： 图像 \(f(x)=\arcsin(x)\) \(f(x)=\arccos(x)\) \(f(x)=\arctan(x)\) \(f(x)=\operatorname{arccot}(x)\) \(f(x)=\operatorname{arcsec}(x)\) \(f(x)=\operatornam 阅读全文

摘要： 数列洛必达 阅读全文

摘要： ## 特殊角三角函数值 $\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \tan{\dfrac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$ 阅读全文

摘要： 1. **用 $6$ 种不同的颜色对正四棱锥 $P-ABCD$ 的 $8$ 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有 ________ 种.** ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202307/2866421-20 阅读全文

摘要： ## 自对称&互对称 ### 自对称 - $f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)$ 的图像关于直线 $x= \dfrac{a+b}{2}$ 对称 $(m \ne 0)$. 操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 $\dfrac{a+mx+b-mx}{2}= 阅读全文

摘要： 基本公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$ $C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$ $C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}$ 换底公式 $A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n$ $C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n$ $C_ 阅读全文

摘要： 性质内容 杨辉三角中，质数仅存在于第2层. 性质证明 一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。 对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$ 由单调性知 $C_n 阅读全文

摘要： 问题描述：有 $n$ 个球，$n$ 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 $i$ 号球不能放到第 $i$ 号箱子中。求方案数。 以下记 $D_n$ 表示元素数为 $n$ 的错排方案数，$p \nsim q$ 表示 $p$ 号球与 $q$ 号箱子存在互斥关系。 易知：$D_1=0,D_2=1$ 对于 $D 阅读全文