[安乐椅#17] 函数对称性与周期性

自对称&互对称

自对称

• \(f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)\) 的图像关于直线 \(x= \dfrac{a+b}{2}\) 对称 \((m \ne 0)\).
  操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 \(\dfrac{a+mx+b-mx}{2}=\dfrac{a+b}{2}\).

互对称

• 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\)，则 \(y=f(a+mx)\) 与 \(y=f(b-mx)\) 关于 \(x=\dfrac{b-a}{2m}\) 对称 \((m \ne 0)\).
• 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R}\)，则 \(y=c+f(a+mx)\) 与 \(y=d-f(b-mx)\) 关于 \((\dfrac{b-a}{2m},\dfrac{c+d}{2})\) 对称 \((m \ne 0)\).
  操作方法：根据 \(f\) 同号/异号判断是轴对称/中心对称，令括号内两式相等可解得对称轴/对称中心的横坐标，即 \(a+mx=b-mx \Rightarrow x=\dfrac{b-a}{2m}\).

对称性推周期性

• 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \(x=b\) 对称，则 \(f(x)\) 有周期 \(T=2|a-b|\).

• 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \((b,f(b))\) 对称，则 \(f(x)\) 有周期 \(T=4|a-b|\).

• 若 \(I_{f(x)}=\mathbf{R},f(x)\) 关于 \((a,f(a))\) 和 \((b,f(b))\) 对称，则 \(f(x)\) 有周期 \(T=2|a-b|\).

函数与导函数的对称性的关系

已知 \(f(x)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上连续可导。

由\(f(x)\)对称性推\(f^\prime(x)\)对称性

• 若 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 对称，则 \(f^\prime(x)\) 关于 \((a,0)\) 对称。

证明：\(f(a+x)=f(a-x)\)
\(\Rightarrow f^\prime(a+x)=-f^\prime(a-x)\)
\(\Rightarrow f^\prime(a+x)+f^\prime(a-x)=0\)

• 若 \(f(x)\) 关于 \((a,t)\) 对称，则 \(f^\prime(x)\) 关于 \(x=a\) 对称。
  证明同理
  注意：此处 \(f(x)\) 对称中心纵坐标可以是任意实数。

由\(f^\prime(x)\)对称性推\(f(x)\)对称性

• 若 \(f^\prime(x)\) 关于 \(x=a\) 对称，则 \(f(x)\) 关于 \((a,t)\) 对称。
  注意：无法确定\(f(x)\)对称中心的纵坐标。

证明：\(f^\prime(a+x)=f^\prime(a-x)\)
\(\Rightarrow f(a+x)+c_1=-f(a-x)+c_2\)
\(\Rightarrow f(a+x)+f(a-x)=2t\)

• 若 \(f^\prime(x)\) 关于 \((a,0)\) 对称，则 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 对称。
  注意：\(f^\prime(x)\)对称中心纵坐标必须为 \(0\) 才可推导出 \(f(x)\) 是轴对称函数。

证明：\(f^\prime(a+x)+f^\prime(a-x)=0\)
\(\Rightarrow f(a+x)-f(a-x)=c\)
代入 \(x=0\)，得 \(f(a)-f(a)=c\)
得 \(c=0\)
所以，有 \(f(a+x)-f(a-x)=0\)
即 \(f(a+x)=f(a-x)\)