简单线性变换

平移变换

矩阵形式：

$\begin{pmatrix} x^\prime\\y^\prime\\z^\prime \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}$

向量在加上是特殊的矩阵。

旋转变换

定义：点 $P(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 后得点 $P^\prime(x^\prime,y^\prime)$ 。

转换公式： $x^\prime= x \cos \theta - y \sin \theta, y^\prime= x \sin \theta + y \cos \theta$

写成矩阵形式即：

$\begin{pmatrix} x^\prime\\y^\prime \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$

证明：以 $x^\prime$ 变换式为例：

镜像变换

定义：点 $P(x,y)$ 对于过原点的直线 $y= \tan \frac{\theta}{2} · x$ 对称至点 $P^\prime(x^\prime,y^\prime)$ 。

转换公式： $x^\prime= x \cos \theta + y \sin \theta, y^\prime= x \sin \theta - y \cos \theta$

写成矩阵形式即：

$\begin{pmatrix} x^\prime\\y^\prime \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$

证明：以 $x^\prime$ 变换式为例

将 $A,A^\prime$ 两点顺时针旋转 $\frac{\theta}{2}$ 得 $A_1,A_1^\prime$ 。如此以来，旋转后的两点 $A_1,A_1^\prime$ 关于 $x$ 轴对称，容易列出方程：

$\begin{cases} x(A_1)=x(A_1^\prime) \\ y(A_1)=-y(A_1^\prime) \end{cases}$

即，

$\begin{cases} x \cos \frac{\theta}{2} + y \sin \frac{\theta}{2} = x^\prime \cos \frac{\theta}{2} + y^\prime \sin \frac{\theta}{2} \\ x \sin \frac{\theta}{2} - y \cos \frac{\theta}{2} = - x^\prime \sin \frac{\theta}{2} +y^\prime \cos \frac{\theta}{2}\end{cases}$

将一式等号两侧同乘 $\cos \frac{\theta}{2}$ ，二式等号两侧同乘 $\sin \frac{\theta}{2}$ 得：

$\begin{cases} x \cos^2 \frac{\theta}{2} + y \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = x^\prime \cos^2 \frac{\theta}{2} + y^\prime \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \\ x \sin^2 \frac{\theta}{2} - y \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = - x^\prime \sin^2 \frac{\theta}{2} +y^\prime \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}\end{cases}$

上式减下式，得：

$x(\cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}) +2y \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}= x^\prime(\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2})$

化简得： $x \cos \theta + y \sin \theta = x^\prime$

$\Box$

posted @ 2024-08-25 20:29 Gokix 阅读(29) 评论(0) 编辑收藏举报

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