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[安乐椅#13] 泰勒展开 & 帕德逼近 & 洛朗级数

泰勒展开

\(f(x)\)\(x=x_0\) 处的泰勒展开:

\[f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0 \]

\(x_0=0\),即得出 \(f(x)\) 的麦克劳林展开:

\[f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,x\ge 0 \]

\[f(x)\thickapprox f(0)+f^\prime (0)x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,x \ge x_0 \]


泰勒展开拟合指数函数可以取得不错的效果。以 \(f(x)=e^x\) 为例,泰勒展开可指引包括但不限于以下经典的函数放缩:

  • \(e^x \ge x+1\)

  • \(e^x \ge ex\)

  • \(e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0\)


帕德逼近

泰勒展开拟合指数函数很理想,但拟合对数函数时就不够理想:

可以看到,泰勒展开拟合对数函数时往往在某一“前缀”中比较合适,在这之后就直接飞掉了。


泰勒展开是利用多项式函数去拟合,其不可避免的是随多项式函数的次数增高,在 \(x \rightarrow + \infty\) 时,函数值会很快地趋向于无穷。而对数函数在 \(x \rightarrow + \infty\) 时,函数值趋向于无穷的趋势很慢。故泰勒展开并不适合与拟合对数函数。

分式函数可以解决这个问题,而帕德逼近的基本形式就是分式函数:

\[f(x) \thickapprox \dfrac{b_mx^m+\cdots+b_1x^1+b_0}{a_nx^n+\cdots+a_1x^1+a_0} \]

逼近思路类似于泰勒展开。求这样一个分式函数,使得其的 \(n\) 阶导均和 \(f(x)\)\(n\) 阶导相同,即称该分式函数为 \(f(x)\) 的一个帕德逼近。

但是求解过程及其难算\(^*\),一般需要借助机子。所以直接把结论记住就好了。

(大小关系改变点均为 \(x=1\))


洛朗级数

实洛朗级数。\(^*\)

精度更高,但更不会求解了。直接记结论:

  • \(\sin x \ge \dfrac{60x-7x^3}{60+3x^2},x\ge 0\)
  • \(\cos x \le 1+\dfrac{3x^4-60x^2}{4x^2+120},x \in \mathbb{R}\)
posted @ 2023-03-08 20:05  Gokix  阅读(2281)  评论(0编辑  收藏  举报