[安乐椅#13] 泰勒展开 & 帕德逼近 & 洛朗级数
泰勒展开
\(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的泰勒展开：
\[f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0
\]
取 \(x_0=0\)，即得出 \(f(x)\) 的麦克劳林展开：
\[f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,x\ge 0
\]
即
\[f(x)\thickapprox f(0)+f^\prime (0)x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,x \ge x_0
\]
泰勒展开拟合指数函数可以取得不错的效果。以 \(f(x)=e^x\) 为例，泰勒展开可指引包括但不限于以下经典的函数放缩：
-
\(e^x \ge x+1\)
-
\(e^x \ge ex\)
-
\(e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0\)
帕德逼近
泰勒展开拟合指数函数很理想，但拟合对数函数时就不够理想：
可以看到，泰勒展开拟合对数函数时往往在某一“前缀”中比较合适，在这之后就直接飞掉了。
泰勒展开是利用多项式函数去拟合，其不可避免的是随多项式函数的次数增高，在 \(x \rightarrow + \infty\) 时，函数值会很快地趋向于无穷。而对数函数在 \(x \rightarrow + \infty\) 时，函数值趋向于无穷的趋势很慢。故泰勒展开并不适合与拟合对数函数。
分式函数可以解决这个问题，而帕德逼近的基本形式就是分式函数:
\[f(x) \thickapprox \dfrac{b_mx^m+\cdots+b_1x^1+b_0}{a_nx^n+\cdots+a_1x^1+a_0}
\]
逼近思路类似于泰勒展开。求这样一个分式函数，使得其的 \(n\) 阶导均和 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导相同，即称该分式函数为 \(f(x)\) 的一个帕德逼近。
但是求解过程及其难算\(^*\)，一般需要借助机子。所以直接把结论记住就好了。
(大小关系改变点均为 \(x=1\))
洛朗级数
实洛朗级数。\(^*\)
精度更高，但更不会求解了。直接记结论：
- \(\sin x \ge \dfrac{60x-7x^3}{60+3x^2},x\ge 0\)
- \(\cos x \le 1+\dfrac{3x^4-60x^2}{4x^2+120},x \in \mathbb{R}\)
