摘要： 平移、旋转和镜像变换 阅读全文

摘要： 如何求 \(f(x)=x^x\) 的导数？ 整体思路：通过构造对数幂底数改为不含元的 \(e\)，同时利用指数上的对数将 \(x\) 次幂落入真数中从而得到易导的式子。 \[f^\prime(x)=(x^x)^\prime={({(e^{\ln x})}^x)}^\prime={(e^{x \ln 阅读全文

摘要： 平面的方程 点法式方程 给定平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面一法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)，则平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 均满足 \(\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}\) 即： \[a(x-x_0)+ 阅读全文

摘要： 图像 \(f(x)=\arcsin(x)\) \(f(x)=\arccos(x)\) \(f(x)=\arctan(x)\) \(f(x)=\operatorname{arccot}(x)\) \(f(x)=\operatorname{arcsec}(x)\) \(f(x)=\operatornam 阅读全文

摘要： 数列洛必达 阅读全文

摘要： ## 特殊角三角函数值 $\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \tan{\dfrac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$ 阅读全文

摘要： 1. **用 $6$ 种不同的颜色对正四棱锥 $P-ABCD$ 的 $8$ 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有 ________ 种.** ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202307/2866421-20 阅读全文

摘要： ## 自对称&互对称 ### 自对称 - $f(a+mx)=f(b-mx) \Leftrightarrow y=f(x)$ 的图像关于直线 $x= \dfrac{a+b}{2}$ 对称 $(m \ne 0)$. 操作方法：将括号内两式取中点可得对称轴，即 $\dfrac{a+mx+b-mx}{2}= 阅读全文

摘要： 基本公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$ $C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$ $C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}$ 换底公式 $A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n$ $C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n$ $C_ 阅读全文

摘要： 性质内容 杨辉三角中，质数仅存在于第2层. 性质证明 一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。 对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$ 由单调性知 $C_n 阅读全文

摘要： 问题描述：有 \(n\) 个球，\(n\) 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 \(i\) 号球不能放到第 \(i\) 号箱子中。求方案数。 以下记 \(D_n\) 表示元素数为 \(n\) 的错排方案数，\(p \nsim q\) 表示 \(p\) 号球与 \(q\) 号箱子存在互斥关系。 易知：\ 阅读全文

摘要： ## Skull 整理 - [导数重要内容梳理](https://www.cnblogs.com/Cybersites/p/17170381.html) - [数列知识总结梳理](https://www.cnblogs.com/Cybersites/p/16966640.html) - [圆锥曲线基 阅读全文

摘要： 泰勒展开 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒展开： $$f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0$$ 取 $x_0=0$，即得出 $f(x)$ 的麦克劳林展开： $$f(x)\thickapprox \s 阅读全文

摘要： 性质： 若 $f(x)$ 为单峰函数，对于 $\forall x \in I,f^{\prime\prime\prime}(x)>0$，且 $f(x)$ 存在两变号零点 $x_1,x_2$，则 $f^\prime (\frac{x_1+x_2}{2})<0$ 证明： 记 $m=x_1+x_2$，不妨 阅读全文

摘要： 1. 关于 $y=e^x$ (1) 切线放缩 $e^x \ge x+1$ $e^x \ge ex$ (2) 多项式放缩 $e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0$$^*$ $e^x \ge ex+(x-1)^2,x\ge 1$ (3) 分式放缩 $e^x \le \df 阅读全文