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平面与直线

一言(ヒトコト)

满目唯有缤纷落花
仿若远去那日的景象

平面与直线

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平面的方程

  1. 点法式方程

    给定平面上一点 M0(x0,y0,z0) 和该平面一法向量 n=(a,b,c),则平面上任意一点 M(x,y,z) 均满足 M0Mn 即:

    a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0

  2. 一般式方程

    在点法式方程的基础上 令 d=(ax0+by0+cz0),可得平面的一般式方程:

    ax+by+cz+d=0

    注:向量 (a,b,c) 是该平面的一个法向量。

  3. 坐标式法式方程

    若将法向量改为单位向量,并用方向余弦表示,可得平面的坐标式法式方程:

    xcosα+ycosβ+zcosγp=0

    其中:

    --> 一次项系数平方和为 1,即 cos2α+cos2β+cos2γ=1

    --> 常数项非正, 即 p0

  4. 截距式方程

    对于不平行于坐标平面的任意平面,设其与坐标轴的交点分别为 (A,0,0),(0,B,0),(0,0,C),将三个点代入一般式方程整理可得平面的截距式方程:

    xA+yB+zC=1

    注:A,B,C 为该平面在三个坐标轴上的截距。

直线的方程

  1. 参数方程

    已知直线上一点 M(x0,y0,z0),方向向量 v=(a,b,c),则直线的参数方程为:

    {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct

    其中 t 为参数。

  2. 标准方程

    将参数方程的 t 消去,可得直线的标准方程:

    xx0a=yy0b=zz0c

    规定:若分母 (a,b,c) 的某一项为 0,则对应的分子也为 0

    注:向量 v=(a,b,c) 是该直线的一个方向向量。

  3. 两点式方程

    空间中两点确定一条直线。

    已知直线经过两点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则直线的两点式方程为:

    xx1x1x2=yy1y1y2=zz1z1z2

  4. 一般式方程

    空间中任意一条直线可看做两个不平行也不重合平面的交。

    给定两个平面 π1:a1x+b1y+c1z+d1=0,π2:a2x+b2y+c2z+d2=0,其交线可表示为:

    {a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0

    其中 (a1,b1,c1)(a2,b2,c2)

posted @   Gokix  阅读(35)  评论(0)    收藏  举报
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