平面的方程

1. 点法式方程

   给定平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面一法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)，则平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 均满足 \(\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}\) 即：

   \[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \]

2. 一般式方程

   在点法式方程的基础上 令 \(d=-(ax_0+by_0+cz_0)\)，可得平面的一般式方程：

   \[ax+by+cz+d=0 \]

   注：向量 \((a,b,c)\) 是该平面的一个法向量。

3. 坐标式法式方程

   若将法向量改为单位向量，并用方向余弦表示，可得平面的坐标式法式方程：

   \[x \cos\alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma -p=0 \]

   其中:

   --> 一次项系数平方和为 \(1\)，即 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)；

   --> 常数项非正， 即 \(p \geqq 0\)。

4. 截距式方程

   对于不平行于坐标平面的任意平面，设其与坐标轴的交点分别为 \((A,0,0),(0,B,0),(0,0,C)\)，将三个点代入一般式方程整理可得平面的截距式方程：

   \[\dfrac{x}{A}+\dfrac{y}{B}+\dfrac{z}{C}=1 \]

   注：\(A,B,C\) 为该平面在三个坐标轴上的截距。

直线的方程

1. 参数方程

   已知直线上一点 \(M(x_0,y_0,z_0)\)，方向向量 \(\vec{v}=(a,b,c)\)，则直线的参数方程为：

   \[\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases} \]

   其中 \(t\) 为参数。

2. 标准方程

   将参数方程的 \(t\) 消去，可得直线的标准方程：

   \[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} \]

   规定：若分母 \((a,b,c)\) 的某一项为 \(0\)，则对应的分子也为 \(0\)。

   注：向量 \(\vec{v}=(a,b,c)\) 是该直线的一个方向向量。

3. 两点式方程

   空间中两点确定一条直线。

   已知直线经过两点 \(M_1(x_1,y_1,z_1), M_2(x_2,y_2,z_2)\)，则直线的两点式方程为：

   \[\dfrac{x-x_1}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_1}{y_1-y_2}=\dfrac{z-z_1}{z_1-z_2} \]

4. 一般式方程

   空间中任意一条直线可看做两个不平行也不重合平面的交。

   给定两个平面 \(\pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, \pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\)，其交线可表示为：

   \[\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{cases} \]

   其中 \((a_1,b_1,c_1) \ne (a_2,b_2,c_2)\)。