平面的方程
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点法式方程
给定平面上一点 M0(x0,y0,z0) 和该平面一法向量 →n=(a,b,c),则平面上任意一点 M(x,y,z) 均满足 →M0M⊥→n 即:
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 -
一般式方程
在点法式方程的基础上 令 d=−(ax0+by0+cz0),可得平面的一般式方程:
ax+by+cz+d=0注:向量 (a,b,c) 是该平面的一个法向量。
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坐标式法式方程
若将法向量改为单位向量,并用方向余弦表示,可得平面的坐标式法式方程:
xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0其中:
--> 一次项系数平方和为 1,即 cos2α+cos2β+cos2γ=1;
--> 常数项非正, 即 p≧0。
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截距式方程
对于不平行于坐标平面的任意平面,设其与坐标轴的交点分别为 (A,0,0),(0,B,0),(0,0,C),将三个点代入一般式方程整理可得平面的截距式方程:
xA+yB+zC=1注:A,B,C 为该平面在三个坐标轴上的截距。
直线的方程
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参数方程
已知直线上一点 M(x0,y0,z0),方向向量 →v=(a,b,c),则直线的参数方程为:
{x=x0+aty=y0+btz=z0+ct其中 t 为参数。
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标准方程
将参数方程的 t 消去,可得直线的标准方程:
x−x0a=y−y0b=z−z0c规定:若分母 (a,b,c) 的某一项为 0,则对应的分子也为 0。
注:向量 →v=(a,b,c) 是该直线的一个方向向量。
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两点式方程
空间中两点确定一条直线。
已知直线经过两点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则直线的两点式方程为:
x−x1x1−x2=y−y1y1−y2=z−z1z1−z2 -
一般式方程
空间中任意一条直线可看做两个不平行也不重合平面的交。
给定两个平面 π1:a1x+b1y+c1z+d1=0,π2:a2x+b2y+c2z+d2=0,其交线可表示为:
{a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0其中 (a1,b1,c1)≠(a2,b2,c2)。
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2022-08-22 题解 CF1712D Empty Graph