平面的方程
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点法式方程
给定平面上一点 M_0(x_0,y_0,z_0) 和该平面一法向量 \vec{n}=(a,b,c)，则平面上任意一点 M(x,y,z) 均满足 \overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n} 即：
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 -
一般式方程
在点法式方程的基础上 令 d=-(ax_0+by_0+cz_0)，可得平面的一般式方程：
ax+by+cz+d=0注：向量 (a,b,c) 是该平面的一个法向量。
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坐标式法式方程
若将法向量改为单位向量，并用方向余弦表示，可得平面的坐标式法式方程：
x \cos\alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma -p=0其中:
--> 一次项系数平方和为 1，即 \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1；
--> 常数项非正， 即 p \geqq 0。
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截距式方程
对于不平行于坐标平面的任意平面，设其与坐标轴的交点分别为 (A,0,0),(0,B,0),(0,0,C)，将三个点代入一般式方程整理可得平面的截距式方程：
\dfrac{x}{A}+\dfrac{y}{B}+\dfrac{z}{C}=1注：A,B,C 为该平面在三个坐标轴上的截距。
直线的方程
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参数方程
已知直线上一点 M(x_0,y_0,z_0)，方向向量 \vec{v}=(a,b,c)，则直线的参数方程为：
\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}其中 t 为参数。
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标准方程
将参数方程的 t 消去，可得直线的标准方程：
\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}规定：若分母 (a,b,c) 的某一项为 0，则对应的分子也为 0。
注：向量 \vec{v}=(a,b,c) 是该直线的一个方向向量。
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两点式方程
空间中两点确定一条直线。
已知直线经过两点 M_1(x_1,y_1,z_1), M_2(x_2,y_2,z_2)，则直线的两点式方程为：
\dfrac{x-x_1}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_1}{y_1-y_2}=\dfrac{z-z_1}{z_1-z_2} -
一般式方程
空间中任意一条直线可看做两个不平行也不重合平面的交。
给定两个平面 \pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, \pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0，其交线可表示为：
\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{cases}其中 (a_1,b_1,c_1) \ne (a_2,b_2,c_2)。
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2022-08-22 题解 CF1712D Empty Graph