随笔分类 - 数学
摘要：
Brooks 定理 对于简单连通图 G，若 G 既不是完全图，也不是奇回路，则 \(\chi(G) \le \delta(G)\)；否则有 \(\chi(G) = \delta(G) + 1\) 。其中 \(\chi(G)\) 是 G 的最小点正常着色数，\(\delta(G)\) 是 G 的最大点
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Brooks 定理 对于简单连通图 G，若 G 既不是完全图，也不是奇回路，则 \(\chi(G) \le \delta(G)\)；否则有 \(\chi(G) = \delta(G) + 1\) 。其中 \(\chi(G)\) 是 G 的最小点正常着色数，\(\delta(G)\) 是 G 的最大点
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摘要：
拉普拉斯矩阵 以下讨论均针对简单无向图。 前置知识 度矩阵 图的度矩阵 \(\operatorname{D}\) 定义为：一个对角阵，\(D_{ii}\)表示\(i\)号节点的度。 邻接矩阵 图的邻接矩阵 \(\operatorname{A}\) 定义为：若存在\(i\)号节点指向\(j\)号节点的
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拉普拉斯矩阵 以下讨论均针对简单无向图。 前置知识 度矩阵 图的度矩阵 \(\operatorname{D}\) 定义为：一个对角阵，\(D_{ii}\)表示\(i\)号节点的度。 邻接矩阵 图的邻接矩阵 \(\operatorname{A}\) 定义为：若存在\(i\)号节点指向\(j\)号节点的
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摘要：
表达式 双曲函数 \(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{th} x = \dfrac{e^{x}-e^{-
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表达式 双曲函数 \(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\) \(\operatorname{th} x = \dfrac{e^{x}-e^{-
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摘要：
Taylor 公式 带 Peano 余项的 Taylor 公式 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导，则在 \(x_0\) 的一个邻域中，对于该邻域中的 \(\forall x\) 成立： \[f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\dfrac
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Taylor 公式 带 Peano 余项的 Taylor 公式 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导，则在 \(x_0\) 的一个邻域中，对于该邻域中的 \(\forall x\) 成立： \[f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\dfrac
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摘要：
\(\int x^{\alpha} \; \mathrm{d}x = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \space (\alpha \ne -1)\) \(\int \dfrac{1}{x} \; \mathrm{d}x = \ln x+C \space\) $\i
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\(\int x^{\alpha} \; \mathrm{d}x = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \space (\alpha \ne -1)\) \(\int \dfrac{1}{x} \; \mathrm{d}x = \ln x+C \space\) $\i
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平移、旋转和镜像变换
摘要：
如何求 \(f(x)=x^x\) 的导数？ 整体思路：通过构造对数幂底数改为不含元的 \(e\)，同时利用指数上的对数将 \(x\) 次幂落入真数中从而得到易导的式子。 \[f^\prime(x)=(x^x)^\prime={({(e^{\ln x})}^x)}^\prime={(e^{x \ln
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如何求 \(f(x)=x^x\) 的导数？ 整体思路：通过构造对数幂底数改为不含元的 \(e\)，同时利用指数上的对数将 \(x\) 次幂落入真数中从而得到易导的式子。 \[f^\prime(x)=(x^x)^\prime={({(e^{\ln x})}^x)}^\prime={(e^{x \ln
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摘要：
平面的方程 点法式方程 给定平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面一法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)，则平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 均满足 \(\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}\) 即： \[a(x-x_0)+
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平面的方程 点法式方程 给定平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面一法向量 \(\vec{n}=(a,b,c)\)，则平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 均满足 \(\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}\) 即： \[a(x-x_0)+
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摘要：
图像 \(f(x)=\arcsin(x)\) \(f(x)=\arccos(x)\) \(f(x)=\arctan(x)\) \(f(x)=\operatorname{arccot}(x)\) \(f(x)=\operatorname{arcsec}(x)\) \(f(x)=\operatornam
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图像 \(f(x)=\arcsin(x)\) \(f(x)=\arccos(x)\) \(f(x)=\arctan(x)\) \(f(x)=\operatorname{arccot}(x)\) \(f(x)=\operatorname{arcsec}(x)\) \(f(x)=\operatornam
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数列洛必达
摘要：![[安乐椅#18] 三角函数公式（不）大全](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202308/2866421-20230827225325583-63382456.png)
## 特殊角三角函数值 $\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \tan{\dfrac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$
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## 特殊角三角函数值 $\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \space\space\space\space\space\space\space\space \tan{\dfrac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}$
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摘要：
1. **用 $6$ 种不同的颜色对正四棱锥 $P-ABCD$ 的 $8$ 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有 ________ 种.** 
基本公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$ $C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$ $C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}$ 换底公式 $A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n$ $C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n$ $C_
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基本公式 $C_n^m=C_n^{n-m}$ $C^m_n=\frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$ $C^m_n=\dfrac{A_n^m}{A^m_m}$ 换底公式 $A^m_{n+1}=A^m_n+mA^{m-1}_n$ $C^m_{n+1}=C^m_n+C^{m-1}_n$ $C_
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摘要：![[安乐椅#15] 杨辉三角质数分布性质](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202304/2866421-20230405115124266-889281219.png)
性质内容 杨辉三角中，质数仅存在于第2层. 性质证明 一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。 对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$ 由单调性知 $C_n
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性质内容 杨辉三角中，质数仅存在于第2层. 性质证明 一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。 对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$ 由单调性知 $C_n
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摘要：![[安乐椅#14] 全错排问题](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202303/2866421-20230315203309413-95016043.png)
问题描述：有 \(n\) 个球，\(n\) 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 \(i\) 号球不能放到第 \(i\) 号箱子中。求方案数。 以下记 \(D_n\) 表示元素数为 \(n\) 的错排方案数，\(p \nsim q\) 表示 \(p\) 号球与 \(q\) 号箱子存在互斥关系。 易知：\
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问题描述：有 \(n\) 个球，\(n\) 个箱子。一个箱子恰放入一个球，第 \(i\) 号球不能放到第 \(i\) 号箱子中。求方案数。 以下记 \(D_n\) 表示元素数为 \(n\) 的错排方案数，\(p \nsim q\) 表示 \(p\) 号球与 \(q\) 号箱子存在互斥关系。 易知：\
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摘要：![[安乐椅#13] 泰勒展开 & 帕德逼近 & 洛朗级数](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202303/2866421-20230308200442666-746304796.png)
泰勒展开 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒展开： $$f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0$$ 取 $x_0=0$，即得出 $f(x)$ 的麦克劳林展开： $$f(x)\thickapprox \s
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泰勒展开 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒展开： $$f(x)\thickapprox \sum \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,x\ge x_0$$ 取 $x_0=0$，即得出 $f(x)$ 的麦克劳林展开： $$f(x)\thickapprox \s
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摘要：![[安乐椅#12] 函数三阶导与极值点偏移](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202303/2866421-20230303212346290-1410377442.png)
性质： 若 $f(x)$ 为单峰函数，对于 $\forall x \in I,f^{\prime\prime\prime}(x)>0$，且 $f(x)$ 存在两变号零点 $x_1,x_2$，则 $f^\prime (\frac{x_1+x_2}{2})<0$ 证明： 记 $m=x_1+x_2$，不妨
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性质： 若 $f(x)$ 为单峰函数，对于 $\forall x \in I,f^{\prime\prime\prime}(x)>0$，且 $f(x)$ 存在两变号零点 $x_1,x_2$，则 $f^\prime (\frac{x_1+x_2}{2})<0$ 证明： 记 $m=x_1+x_2$，不妨
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摘要：![[安乐椅#11] 常见函数放缩](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202302/2866421-20230225183142290-509387939.png)
1. 关于 $y=e^x$ (1) 切线放缩 $e^x \ge x+1$ $e^x \ge ex$ (2) 多项式放缩 $e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0$$^*$ $e^x \ge ex+(x-1)^2,x\ge 1$ (3) 分式放缩 $e^x \le \df
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1. 关于 $y=e^x$ (1) 切线放缩 $e^x \ge x+1$ $e^x \ge ex$ (2) 多项式放缩 $e^x \ge 1+x+\frac{1}{2}x^2,x \ge 0$$^*$ $e^x \ge ex+(x-1)^2,x\ge 1$ (3) 分式放缩 $e^x \le \df
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摘要：![[安乐椅#10] 六小函数](https://img2023.cnblogs.com/blog/2866421/202302/2866421-20230211104645788-2027585960.png)
1. $f(x)=xe^x$ 定义域 $\mathbf{R}$ 单增区间 $(-1,+\infty]$，单减区间 $[-\infty,-1)$. 极（最）小值点 $(-1,-\dfrac{1}{e})$ 2. $f(x)=x\operatorname{ln}x$ 定义域 $\mathbf{R}^+$
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1. $f(x)=xe^x$ 定义域 $\mathbf{R}$ 单增区间 $(-1,+\infty]$，单减区间 $[-\infty,-1)$. 极（最）小值点 $(-1,-\dfrac{1}{e})$ 2. $f(x)=x\operatorname{ln}x$ 定义域 $\mathbf{R}^+$
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摘要：
by Skull & S. & Fred & Gokix 一. 手电筒反射面与二元抛物面 前置知识：二元抛物面。 二元抛物面的解析式为：$2pz=x^2+y^2$。其相当于一条抛物线绕其对称轴旋转一周后形成的图形。相应的，其有一条性质：任意过二元抛物面对称轴的平面与二元抛物面的交线是抛物线。 如图为
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by Skull & S. & Fred & Gokix 一. 手电筒反射面与二元抛物面 前置知识：二元抛物面。 二元抛物面的解析式为：$2pz=x^2+y^2$。其相当于一条抛物线绕其对称轴旋转一周后形成的图形。相应的，其有一条性质：任意过二元抛物面对称轴的平面与二元抛物面的交线是抛物线。 如图为
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浙公网安备 33010602011771号