[安乐椅#15] 杨辉三角质数分布性质

性质内容

杨辉三角中，质数仅存在于第2层.

性质证明

一步转化：杨辉三角第 $n$ 行 $m$ 列的数为 $C_n^m$。原命题转化为 $C_n^m$ 仅当 $m=1$ 或 $n-1$ 时为质数。

对于 $C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}$

由单调性知 $C_n^m>c_n^1=n$ ①

而 $C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

故 $C_n^m$ 所有质因子均小于等于 $n$ ②

假设 $C_n^m$ 为质数，则其含有质因子 $C_n^m$

由 ① 知 $C_n^m>n$

由 ② 知 $C_n^m\le n$

矛盾，故 $C_n^m$ 为合数。

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