性质内容
杨辉三角中,质数仅存在于第2层.

性质证明
一步转化:杨辉三角第 n 行 m 列的数为 C_n^m。原命题转化为 C_n^m 仅当 m=1 或 n-1 时为质数。

对于 C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}
由单调性知 C_n^m>c_n^1=n ①
而 C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}
故 C_n^m 所有质因子均小于等于 n ②
假设 C_n^m 为质数,则其含有质因子 C_n^m
由 ① 知 C_n^m>n
由 ② 知 C_n^m\le n
矛盾,故 C_n^m 为合数。
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