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[安乐椅#15] 杨辉三角质数分布性质

一言(ヒトコト)

你所看到的天上的月亮
只是真实之月在天穹中的倒影

[安乐椅#15] 杨辉三角质数分布性质

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性质内容

杨辉三角中,质数仅存在于第2层.

性质证明

一步转化:杨辉三角第 nm 列的数为 C_n^m。原命题转化为 C_n^m 仅当 m=1n-1 时为质数。

对于 C_n^m,m \in [2,n-2],m\in \mathbf{N}

由单调性知 C_n^m>c_n^1=n

C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}

C_n^m 所有质因子均小于等于 n

假设 C_n^m 为质数,则其含有质因子 C_n^m

由 ① 知 C_n^m>n

由 ② 知 C_n^m\le n

矛盾,故 C_n^m 为合数。

\Box

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