文章分类 - 笔记
摘要：势能分析法 基本模型 设 \(S_i\) 为第 \(i\) 状态，\(O(i)\) 为前 \(i\) 个状态消耗的实际复杂度，\(\Phi(S)\) 为势能函数。 若 \(\Delta O\) 可表示为 \(\Delta O\le \Delta\Phi+c\)，则所有操作的复杂度为 \(O\le \
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摘要：重心 树的重心定义为点 \(s\)，满足所有点到 \(s\) 的距离和最小。 性质：子树大小限制 以 \(s\) 为根时，所有子树的大小 \(\le \dfrac{n}{2}\)，最大子树大小最小。 性质：点对距离限制 \(s\) 到所有点的距离之和最小。 性质：重心个数限制 树的重心最多有两个，且
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摘要：欧拉路径 若从一个点 \(u\) 开始，枚举边 \(u\to v\)，删边，\(\text{DFS}(v)\)， 可以证明一定可以搜出一条 \(s\to t\) 的路径。因为考虑到达 \(u\) 后，除了起点终点，一定可以找到一条边 \(u\to v\)。 此时可以不断搜索，直到图为空，再倒着输出这
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摘要：Employment 左右 \(n\) 个点的带权二分图，寻找一种匹配，使得对于任意匹配对 \((u,x),(v,y)\)，不能存在 满足 \(w(u,y)>w(u,x)\) 且 \(w(y,u)>w(y,v)\) 的情况。（否则 \(u\) 会和 \(y\) 匹配，这样就是 不稳定的） 稳定婚姻系
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摘要：定义 Thue-Morse (T. M.) 序列 \(\{T_n\}\) 为如下形式的布尔序列： \(T_0=0\)； \(T_{2n}=T_n\)； \(T_{2n+1}=1-T_n\)。 性质 \(\bm 1\) \(T_i=\text{popcount}(i)\bmod 2=1-\dfrac{
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摘要：Tips：可以看作上三角矩阵。线性基是最小基，异或可得的元素个数是 \(2^{|p|}\)。支持 查询能否异或成 \(x\)，最大异或，最小异或，\(k\) 小异或。线性基求交，线性基求并。线性基可以调整使得 非空列一定无交，也就是对于主对角线上的非零元素，其上一定为 \(0\)，并且可以在插入时调
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摘要：https://leetcode.cn/circle/discuss/T9Xa1R/
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摘要：第一类斯特林数 把 \(n\) 个互不相同的数划分为 \(k\) 个圆排列（不区分顺序）的方案数。 递推公式 \[\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix} +(n-1) \begin
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摘要：转载自 https://poem-rain.blog.luogu.org/si-te-lin-di-shi-lian 更好的阅读体验 前言 强烈建议有组合数学基础的读者阅读这篇文章。 由于式子较多，为增强直观性，笔者将用 (nm)\displaystyle \binom{n}{m}(mn) 表示组
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摘要：设 有向无环图 \(G\)。 定义： \(w(e)\) 表示 \(e\) 的边权。 \(w(L)\) 表示路径 \(L\) 上边权的乘积。 \(w(u,v)\) 表示所有 \(u\to v\) 的路径 \(w(L)\) 的和。 定义： \(p\) 为一个 \(1\sim n\) 的排列。 \(\rh
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摘要：P8173 [CEOI2021] Newspapers 转化题意，相当于 \(n\) 次位移不能经过特定点。 考虑一条链的情形，将链黑白染色。 考虑这样一组方案：\(2,3,\cdots,n-1,n-1,n-2,\cdots,2\)。 第一遍正着扫过去可以排除编号偶数的点，第二遍排除剩余。 加长度为
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摘要：优化思想 根本思想还是找性质。 改变状态定义。 打表找性质，剔除劣状态。 下标转值域 P6891 [JOISC2020] ビルの飾り付け 4 舍弃过于劣 费用提前法 P2365 任务安排 微元贡献法 某两个数对之间有 \(a_i-a_j\) 的贡献。 可以拆为 \(a_i-a_{i+1}\) 的和。
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摘要：P9196 [JOI Open 2016] 销售基因链 记 \(n=\sum|S|+\sum|P|+\sum|Q|\)。 \(\bm {O(n\log n)}\)：正反串建树 对正串反串分别构建字典树，问题转化为统计两棵树上分别在某个点子树下的字符串数量，离线二维数点。 \(\bm {O(n)}\)
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摘要：https://www.luogu.com.cn/training/322113 Hall 定理 二分图存在左部点完美匹配当且仅当任意 \(s\in \text{left}\)，\(|s|\le|\ \text{to}_i\) 的并 \(|\)，\(i\in s\)。 PKUSC2022 D1T3
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摘要：Raney 引理 对于和为 \(\bm 1\) 的整数序列，其存在唯一循环移位满足所有前缀和均为正数。 证明：找到前缀和最小的位置（如有相同取最后），以其后一位为首，该循环移位满足条件且唯一。 本题题解 转化题意，令 \(w_i-1\to w_i\)，有序列和为 \(\bm{-1}\) 且末位为 \
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摘要：二分图博弈 结论： 对于起点 \(s\)，若存在最大匹配不包含 \(s\)，此时先手必败，否则先手必胜。 P4617 Planinarenje 题意： 询问对于所有起点 \(s\) 的博弈信息，\(n\le 5000\)。 思路： 显然可以暴力 Dinic，但存在更优复杂度。考虑匈牙利算法匹配的过程
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摘要：以下若未注明，默认字符串为 \(s\)，记 \(n=|s|\)。 Border-Period 对于一个长度为 \(x\) 的 Border，唯一对应着一个长度为 \(n-x\) 的周期。 Weak Periodicity Lemma 弱周期引理 对于一个字符串 \(s\)，如果有 \(p,q\) 都
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摘要：https://bitbucket.org/qinxiang-SJTU/apio-2023/src/master/ 通俗地讲， 把源代码格式化，用什么正则表达式之类的。 把格式化的代码转化为类似表达式树的分支结构（优先级，表达式 / 语句 定义 / 扩展方法）。 解释执行。维护当前正在执行的语句（F
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摘要：线段树要领 维护什么，标记什么 区间整体操作后维护的值以及其他标记如何变化 区间最值 给定序列 \(a\)，\(q\) 次操作： 区间取 \(\min\) 查询区间和 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define pii pair<int
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摘要：定义 称有向图上 \(k\) 为 \(t\) 以 \(s\) 为源点的支配点，当且仅当 \(s\to t\) 的所有路径必须经过 \(k\)，即删掉 \(k\) 后 \(s,t\) 不连通。 显然 \(t\) 的所有支配点被一条链穿过。 若连边 \(t\) 与 \(t\) 最近的支配点（\(\tex
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