Border 理论

以下若未注明，默认字符串为 \(s\)，记 \(n=|s|\)。

Border-Period

对于一个长度为 \(x\) 的 Border，唯一对应着一个长度为 \(n-x\) 的周期。

Weak Periodicity Lemma 弱周期引理

对于一个字符串 \(s\)，如果有 \(p,q\) 都是 \(s\) 的周期，且 \(\bm{p+q≤n}\)，则可以得出 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。

证明：

令 \(p\ge q\)。对于 \(1\le i\le n\)，若 \(i\le n-p\)，有 \(s_{i}=s_{i+p-q}\)，否则 \(i> q\)，\(s_i=s_{i-q+p}\)，即 \(p-q\) 也是 \(s\) 的周期。

Periodicity Lemma 周期引理

对于一个字符串 \(s\)，如果有 \(p,q\) 都是 \(s\) 的周期，且 \(\bm{p+q≤n+\gcd(p,q)}\)，则可以得出 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。

Border Lemma #1

取 \(s\) 的所有长度 \(\ge ⌈\dfrac{|s|}{2}⌉\) 的 Border 和 \(s\) 本身，它们的长度构成等差数列。

证明：

取 \(s\) 最长 Border \(p\)，任取另一个长度 \(\ge ⌈\dfrac{|s|}{2}⌉\) 的 Border \(q\)，\(n-p,n-q\) 是 \(s\) 的周期。由弱周期引理，结合 \(p\) 最长的条件，可得 \(\gcd(n-p,n-q)\le n-p\)，那么有 \((n-p)\mid (n-q)\)，即构成等差数列。

Border Lemma #2

取 \(|s|=|t|=n\) 的所有 \(p\ge ⌈\dfrac{|s|}{2}⌉\) 且 \(s_{1\sim p}=t_{n-p+1,n}\)，构成等差数列。

证明：

同样取最大 \(p\)，易知其他 \(q\) 应为 \(p\) 在 \(s\) 中的一个 Border。由 Lemma #1 可得即为等差数列。

Border Lemma

取 \(s\) 的所有 Border 和 \(s\) 本身，它们的长度可以构成 \(\log n\) 段等差数列。

证明：

按 Lemma #1, #2 构造即可。具体可见 https://www.cnblogs.com/crashed/p/15759091.html。