文章分类 - 笔记
摘要：感觉不如原根。 定义 \(g\) 为 \(n\) 的原根当且仅当 \(g\) 模 \(n\) 的 阶 为 \(φ(n)\)（群的阶）。即，满足 \(g^x=1\pmod n\) 的最小正整数解为 \(φ(n)\)。有 \(g^{x}\bmod n\ (x<φ(n))\) 一定互不相同。 存在原根的
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摘要：埃氏筛 调和级数暴力枚举倍数。 应用：求给定数中 \(i\) 的因子个数（Dirichlet 前缀和），详见 容斥反演篇。 欧拉筛 优化：只筛 6k-1,6k+1 https://www.luogu.com.cn/blog/310801/xiao-mo-xian-zhu-yi-0-post 对于所有
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摘要：大声朗读并熟练背诵 \[\large \begin{array} AA\alpha\ B\beta \ \Gamma\gamma\ \Delta \delta\ E\epsilon\ Z\zeta\ H\eta\ \Theta\theta\ I\iota\ K\kappa\ \Lambda\lamb
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摘要：序列 生成随机排列 生成长度 \(n\)，值域 \(m\) 的不重复随机序列 不断生成直到不重为止，可以证明是均匀随机的，复杂度 \(O(n\log n)\) 当 \(m\le 2n\) 时生成长度为 \(m\) 的排列然后取前 \(n\) 项，复杂度 \(O(n)\) 生成指定和的序列 转化为生成
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摘要：代码框中的内容表示有待重写。 无向图 DFS 树 无向图中，DFS 树只有树边、返祖边，没有横叉边、前向边。 每个子树对应 DFS 序的区间，区间两两无交或包含。 点双连通分量和边双连通分量是 DFS 树上的连通块。 ### 点 / 边 k 连通 边双连通 定义：两点间有两条边不相同的路径。 性质：
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摘要：例题：P4178 线段树是基本数据结构。遇到题目先从线段树着手。 当 维护的信息不能 O(1) 合并 时，考虑分块。其本质是第一层分了 \(\sqrt n\) 叉的线段树，通过对零散块的重构平衡复杂度。此时只会有整块的询问，可以将底层线段树简化，得到了普通的分块算法。
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摘要：斜率优化 一般形式为在一些点中求答案极值。 令 \(ans(i)\) 为 \(i\) 的答案，\(ans(i)\) 是关于 \(x,y\) 的函数，如 \(ans(i)=xy\)。整理得 \(y=ans(i)/x\)，即查找最小的 \(ans\) 使得 \(f(x)=ans/x\) 穿过给定点。容易
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摘要：区间加，区间历史 max：矩阵维护 区间加、区间历史和（平方和）：同样可以矩阵 区间操作，区间历史操作，一般均可矩阵！！！！ 矩阵封装、替代了标记的操作。
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摘要：博弈基础 定义 公平组合游戏（平等博弈、非偏博弈）、SG 值（Nimber）。 \(*_x\) 表示 SG 值为 \(x\) 的博弈，\(0\) 为 \(*_0\)。 性质 SG 和：\(*_x+*_y=*_{x\operatorname{xor}y}\) 抵消性：\(*_x+*_x=0\) 应用
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摘要：连通性相关 无向图 DFS 树 性质见课件。 边双连通 两点间有两条边不相同的路径。 每个点恰好属于一个边双连通分量。由割边连接。 缩点形成树。 点双连通 两点间有两条除起点终点点不相同的路径。孤立点是点双连通分量。 每条边恰好属于一个点双连通分量，每个点可能属于多个。由割点相连。点双中任意两点间路
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摘要：树状数组 单点加：前后缀和。 线段树 对于信息群 \(I\)，标记群 \(D\)，满足： 信息结合律：\(a,b,c\in I,(a+b)+c=a+(b+c)\) \(a\in I, b\in D,a+b\in I\) 标记可下传（标记可以集体下放更新到子节点的信息）：\(a\in I,b,c\in
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摘要：加边最大流问题，边容量均为 1 且无重边，流量在 \(O(n)\) 级别，边数在 \(n^2\) 级别。 每次跑一遍 Dinic，复杂度 \(O(m^2n^{2/3})=O(n^{4+2/3})\)。 每次使用 FF 增广，复杂度 \(O(n^4)\)。 \(s\to t\) 的增广只有 \(O(n
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摘要：### CF1845D Rating System 考虑在折线图上，称“碰下壁”为一次 $x\le k,k\to x$ 的操作；若一次“碰下壁”，直接移动坐标轴。 由于只有下限，坐标轴只会向下移动，且最终的坐标轴取决于第一次“碰壁”后的最低点。故枚举第一次“碰壁”即可。 ### [IOI2021]
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摘要：裴蜀定理：\(an+bm\ (n,m\in \mathbb{Z})\) 覆盖了所有 \(\gcd(a,b)\) 的倍数。 模意义下裴蜀定理：\(an\bmod p\ (n\in \mathbb{Z})\) 覆盖了所有 \(\gcd(a,p)\) 的倍数。 推论：\(an+bm\bmod p\ (n,
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摘要：最短路 Tips：SPFA 入队次数判负环的坑。如此还可能会导致常数大大增加，不妨 卡时或记录松弛次数。 差分约束 Tips：跑最长路求得大于 0 最小解；跑最短路求得小于 0 最大解。
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摘要：要求：函数有凸性，全局最大值易求。 二分时注意 \(\text{mid}\) 取整问题，在图像上考虑，最后根据斜率求解时慎重考虑。
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摘要：模拟赛 D1T1. 染色 相当于二维度：位置、时间。对时间一维很难考虑，考虑 对位置扫描线，记 \(f_{i,j}\) 表示考虑到 \(i\)，且 \(i\) 染颜色 \(j\) 的方案数。枚举 \(k\ne i\)，且 \(\text{mn}_i\ge \min(i,k)\) 转移。 注意到仅仅需
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摘要：总结：玄学。 排序贪心 两种题型： 构造序列，最小化某个式子的值 感性地贪心取。 例如 \(a_i<a_{i+1}\)，\(b_i\) 是一个排列，最小化 \(\sum a_ib_i\)。 取 \(b_i=n-i+1\)。 重排序列，最小化某个式子的值 整理原式，抵消贡献，再贪心。 阿狸和桃子的游戏
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摘要：二分、三分、四分 均分若干等分，通过询问排除一份。 [eJOI2022] Where Is the Root? 考虑所有度数为 \(1\) 的结点，它们的 LCA 一定为根结点。 于是，若 \(S\) 包含了所有的叶子结点，且 \(Q(S)\) 为 Yes，则根结点 \(\in S\)；否则 \(\
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摘要：在数轴上考虑，易得一次操作相当于选定对称轴翻转。 任意时刻只存在两种相对状态——原状态和翻转状态，且和操作奇偶性相关。 令 \(d=a_n-a_1\)，通过不断以最小值为轴翻转，可知任意时刻 \(a_1\) 可对 \(d\) 取模。 不断以最大值为轴翻转，可以剔除 \(a_i\ge 0\) 的限制。
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