LGV 引理

设 有向无环图 \(G\)。

定义：

• \(w(e)\) 表示 \(e\) 的边权。
• \(w(L)\) 表示路径 \(L\) 上边权的乘积。
• \(w(u,v)\) 表示所有 \(u\to v\) 的路径 \(w(L)\) 的和。

定义：

• \(p\) 为一个 \(1\sim n\) 的排列。
• \(\rho(p)\) 表示 \(p\) 的逆序对数。
• 起点集合 \(A\)，终点集合 \(B\)。
• \(P\) 对应一个排列 \(p\)，\(P_i\) 表示 \(A_i\) 与 \(B_{p_i}\) 的一条路径。

LGV 引理

则

\[\text{det}(M)=\sum_{P} (-1)^{\rho(p)}\prod_i w(P_i) \]

其中 \(P\) 两两路径无交。

证明

https://oi-wiki.org/graph/lgv/