线性基（咕咕咕）

Tips：可以看作上三角矩阵。线性基是最小基，异或可得的元素个数是 \(2^{|p|}\)。支持 查询能否异或成 \(x\)，最大异或，最小异或，\(k\) 小异或。线性基求交，线性基求并。线性基可以调整使得 非空列一定无交，也就是对于主对角线上的非零元素，其上一定为 \(0\)，并且可以在插入时调整。

Tips：细节：需要记录线性基中元素能否异或成 0，对 0 必要特判。

洛谷日报 - 异或线性基

性质

比较平凡的。

• 原序列中元素的非 \(0\) 异或值 都可以通过 线性基中的元素异或得到。
• 线性基中元素的异或值 都可以通过 原序列中的元素异或得到。
• 线性基是满足以上性质的最小集合。
• 线性基中的元素异或不会得到 \(0\)。也就是说，不同的数异或不会得到相同的异或值。

证明：假设有 \(a_1\bigoplus a_2\bigoplus ... \bigoplus a_n=0\)，那么 \(a_1\) 一定可以由 \(a_2\bigoplus ... \bigoplus a_n\) 得到，那么我们把 \(a_1\) 从线性基中删除依然可以满足原有的性质，且比原来的元素个数还要少，这样原来的线性基就与第二条性质最小集合相违背，所以假设不成立。

• 线性基在异或意义上等价于原序列。
• 建出线性基后，一个很好的性质是第 \(i\) 行的线性基的前 \(1\sim i-1\) 位上的数字均为 \(0\)，第 \(i\) 位为 \(1\)。
• 把两个线性基合并，等价于把原序列合并。即可以在 \(\mathcal{O}(\log \max\{w\})\) 的时间复杂度内合并两个线性基。
• 线性基支持类似 RMQ 的操作。把两个含有重复元素的线性基合并等价于不合并重复的部分。

应用

求最大异或值

对于每一位，贪心地异或。

求偶数元素最大异或值

把每个元素异或 \(a_1\) 插入线性基。

求最小异或值

一定是基中最小的元素（特判 \(0\)）。

查询能否异或为给定值

每一位，不同即异或。

求 \(\bm k\) 大异或值

做法 1

调整使得 非空列无交，把 \(k\) 二进制分解找即可。

这样做会有 \(O(\log^2n)\) 的预处理复杂度。

做法 2

stO Yyc Orz

把线性基的结构看作一棵满二叉树。异或往左走，否则向右走。左边严格劣于右边。这样走即可。

注意，这样做是严格 \(O(\log n)\) 的。拜谢 Yyc！

其实和做法 1 本质相同，或是另一种表达。

线性基求并

把一个线性基中的元素暴力插入另一个。

线性基求交

顺次枚举第二个线性基 \(b\) 中的元素。考虑如果 \(b_i\text{ xor }b_{k_1}\text{ xor }b_{k_2}\text{ xor }\cdots\in a\)，应有 \(b_i\in a\cup b_{1\sim i-1}\)。

带删除线性基

咕！