二分图网络流

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Hall 定理

二分图存在左部点完美匹配当且仅当任意 \(s\in \text{left}\)，\(|s|\le|\ \text{to}_i\) 的并 \(|\)，\(i\in s\)。

PKUSC2022 D1T3 Cat

设 \(p_{s,i}\) 表示出现集合 \(s\) 且选择 \(\text{rua}\) 猫 \(i\) 的概率。

二分答案 \(k\)，即判定存在 \(p\) 满足：

• \(\forall s,\sum_i p_{s,i}=p_s\)
• \(\forall i,\sum_s p_{s,i}\ge k\times \sum_{i\in s}p_s\)

左边集合右边猫，连边带权二分图。

注意到二分图有特殊性质：中部边权 \(\infty\)，左右可以拆为对应边权数量的点，Hall 定理判定即可。

判定中取最小值甚至可以取代二分。