文章分类 - 笔记
摘要：首先考虑 \(a\ge 0,b\ge 0\) 的情形。判掉 \(c<0\) 或 \(d<0\) 的情况。那么倒着考虑的话，相当于可以让 \(c,d\) 之间较大的数减去较小的数，直到变成 \((a,b)\)。那么从 \((c,d)\) 变成 \((c,d\bmod c)\) 的过程只会进行 \(O(
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摘要：本文全文转载自 Entropy Increaser 的博客： 「营业日志 2020.11.21」随机父节点树的期望树高 - Entropy Increaser - CSDN，希望我有朝一日学会数学。 这里的树高是最大深度，不能用第 \(n\) 个点的期望深度来计算。 设 \(h\) 为树高，\(\m
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摘要：博客链接：这里 考虑杨表 \(\lambda\)，记 \(n\) 为 \(\lambda\) 的大小。\(h(a)\) 表示 \(a\) 的勾长，\(h(i,j)\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列格子的勾长。 取出勾长为 \(1\) 的边界格子，记它为集合 \(C\)。 我们归纳证明。考
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摘要：证明： \[\sum_{k=0}^n\dbinom nk\dbinom{n-k}{\lfloor\frac{n-k}2\rfloor}2^k=\dbinom{2n+1}{n}. \]组合意义： 设想有 \(2n+1\) 个球，标号 \(1,2,\ldots,2n+1\)。 右式的含义就是从 \(2n
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摘要：在一个 DAG \(G=(V,E)\) 上，给定起点集合和终点集合 \(S=\{s_1,\ldots,s_m\}\)，\(T=\{t_1,\ldots,t_m\}\)。 设 \(p\) 是一个 \(m\) 阶排列，\(\pi(p)\) 是 \(p\) 的逆序对数。\(P=\{P_1,P_2,\ldo
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摘要：如果两个序列 \((P=\{\mathbf P_i\},p=\{p_i\})\) 和 \((Q=\{\mathbf Q_i\},q=\{q_i\})\) 不同但最终结果相同，即 \(\prod_{k=1}^n\mathbf P_{k}^{p_k}=\prod_{k=1}^m\mathbf Q_k^{
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摘要：称问题 \(\mathsf A\) 能 规约到 问题 \(\mathsf B\)，如果 \(\mathsf A\) 可以通过 \(\mathsf B\) 被解决。问题 \(\mathsf A\) 可以归约到问题 \(\mathsf B\) 上，问题 \(\mathsf B\) 比问题 \(\math
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摘要：证明：简单无向图（无自环，无重边）的生成树个数 \(=\) 邻接矩阵减去度数矩阵去掉一行一列后的行列式。 组合意义： 把一条无向边看作两条有向边，求行列式的过程等价于强制不让根结点连边，同时其他点任意连出边，这 \(n-1\) 条边组成若干个环或自环。 对于一个自环 \(u\to u\)，它的贡献是
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摘要：容斥原理 容斥原理的本质 不是 集合的并。容斥是从 DP 中自然得到的。 例题：树状图拓扑序计数。对于每条指向内的边，合法方案数 = 总方案数 - 不合法的方案数。所有点乘起来，系数就是 (-1)x 了。 例题。另一种理解：把贡献按照容斥系数线性组合起来，冗余的部分刚好抵消。 二项式反演 \(g(n
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摘要：非常好一课件 数据结构 = 信息 + 结构 一切结构本质都是分治结构。 （分治）结构：线段树、平衡树、CDQ 分治（要求贡献独立）、线段树分治（要求操作无序，插入撤回代替插入删除）、二区间合并（猫树分治，可以回答询问 / 计数）、树剖、点分树 等其他分治结构 操作的性质：可以离线、操作之间顺序不定
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摘要：最短路和最小生成树 Template & Algorithm 最短路算法：Bellman-Ford，Dijkstra，SPFA，Johnson 判负环算法：Bellman-Ford=SPFA，全源跑最短路，最小均值环 最小生成树算法：Prim，Kruskal，Brovuka，对边增量 欧拉回路（环覆
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摘要：周期与边界理论 字符集：\(\Sigma\)。 字符串：\(\cup_{k\ge 0}\Sigma^k\) 的一个元素。其中集合乘法是笛卡尔积。记 \(n=|s|\)。 子串：记作 \(s_{l,r}\)。 周期 (Period)：\(p\) 是 \(s\) 的周期，当且仅当 \(s\) 是 \(p
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摘要：定义 网络：一个特殊的有向图 \(G\)，有容量和源汇点。 流：一个从边集映射到整数集 或实数集 的函数 \(f\)，满足： 容量限制 流守恒性：除源汇点外，任意结点 \(u\) 有 \(\sum_{x \in V} f(u, x) - \sum_{x \in V} f(x, u)=0\)。 称 \
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摘要：最优化 随机化 采用随机化提升算法效率。 首先你要想到随机化。 CF840D Destiny：区间出现次数大于一半的众数 CF364D Ghd：大小大于一半的子集最大公约数 CF1305F Kuroni and the Punishment：猜一手结论，大于一半 模拟退火 首先你要想到退火。 一些效
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摘要：背包就是卷积。 完全背包 每个物品无数量上限。 “恰好”，\(W\) 很大，\(m\) 很大，\(n,w_i\) 很小：贪心调正，同于最短路，法，\(O(n\max w_i\log n)\)。 退背包：去掉某个物品后的背包，Pxxxx 消失之物 有限背包 朴素：\(O(W\sum m_i)\)，单调
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摘要：树状数组 单点修改，前后缀和。 实际上维护了 \((i-\operatorname{lowbit}(i),i]\) 的区间和。 为什么是对的，反着写为什么是对的。 性质：把 \(i\to i+\operatorname{lowbit}(i)\) 连边后是一棵树。 树状数组的快速清空 维护时间戳，表示
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摘要：点分治 简单应用 - P3714 [BJOI2017] 树的难题 给你一棵 \(n\) 个点的无根树，树上的每条边具有颜色，第 \(i\) 种颜色的权值为 \(c_i\)。对于树上简单路径，路径上所有边按顺序组成颜色序列，定义路径权值为颜色序列上每个颜色段颜色权值之和。计算经过边数在 \(l\) 到
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摘要：2-SAT 问题 k-SAT 问题 SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。 k-SAT 问题就是给定 \(n\) 个布尔变量和 \(m\) 个约束条件，每个条件形如 \(x_{p_1}⊕x_{p_2}⊕x_{p_3}⊕\ldots⊕x_{p_k}=0/1\)（\(⊕\) 表示任
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摘要：平面图 定义 平面中画出一个无向图使得任意两边（可以是曲线）不交的画法称为一种平面表示或平面嵌入。存在平面表示的无向图称为平面图或可平面图。 例如：网格图、\(K_4\)（4 个点的完全图）是平面图，\(K_{3,3}\)（左右 3 个点的二分图）、\(K_5\) 不是平面图。 面：边围出的连通区域
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摘要：这是对绝世好文 https://do-while-true.github.io/2022/02/04/「学习笔记」各类容斥反演总结/，备份 的一些照抄和补充，拜谢杜老师！！！ 0. 容斥原理 0.1. 容斥原理 现有 \(\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}\) 共 \(n\) 个集合，已知
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