欧拉路径 - 边定向问题

欧拉路径

若从一个点 \(u\) 开始，枚举边 \(u\to v\)，删边，\(\text{DFS}(v)\)，

可以证明一定可以搜出一条 \(s\to t\) 的路径。因为考虑到达 \(u\) 后，除了起点终点，一定可以找到一条边 \(u\to v\)。

此时可以不断搜索，直到图为空，再倒着输出这些路径即可。

stack<int> st;
vector<int> g[100010];
void dfs(int u) {
	for (int i = ers[u]; i < g[u].size(); i = ers[u]) {
		ers[u] = i + 1; dfs(g[u][i]); st.push(path(u, g[u][i]));
	}
}

CF527E Data Center Drama

「给所有 边定向，使得每一个点的出入度都是偶数」\((1)\) 等价于看做无向图后存在欧拉回路且边数为偶数 \((2)\)。

证明：\((1)\to (2)\) 显然。而如果将欧拉回路中的第奇数条边反转方向，也可以满足 \((1)\)。

奇数点连边，不够加自环。

CF547D Mike and Fish

将每个点所在的行和列连边，要将 边定向，满足任何点度数差 \(\le 1\)。

建虚拟源点，和度数奇数的点连边，跑欧拉回路即可。

[COCI2021-2022#5] Fliper

将相邻的两个循环连边，现要将 边染色，使得任何点四种颜色数量相同且为偶数。

首先每个点的度数应为 \(8\) 的倍数，则边数也为 \(8\) 的倍数。

欧拉回路四染色即可，具体来说：首先欧拉回路将边二染色，再对每种颜色的子图二染色。

SDOISC #3 D2T3. 帽子

考虑一个人，看到其他帽子颜色，做出决策 \(b\ (0/1)\)。注意到自己帽子的颜色可能是 \(0\) 或 \(1\)，因此分别对应着两个状态，记为
\(S\) 和 \(T\)。

对 \(2^n\) 个状态建图，每个状态拆点，分别表示两种颜色的帽子。如果两种状态 \(S,T\) 仅一位不同，则那个人 \(k\) 无法分辨两个状态，如果 \(S_{k}=0\)，将 \(S[0]\) 向 \(T[1]\) 连边。现要将边定向，使得每个点入度大于一半。建虚点跑欧拉回路即可。

BEST 定理

对于一个有向 欧拉图，记点 \(i\) 的出度为 \(o_i\)，其以 \(1\) 为根的欧拉回路个数为：

\[o_1\times (\text{root}\texttt{ 为 }1\text{ 时的内向树个数})\times \prod_{i}(o_i-1)! \]

若先走非树边，最后走父亲，

由于入度等于出度，

（绿边为生成树的边）

由于 \(\text{in}=1\)，所以 \(\text{son}=0\)，即子节点已经处理完毕。