稳定婚姻系统

Employment

左右 \(n\) 个点的带权二分图，寻找一种匹配，使得对于任意匹配对 \((u,x),(v,y)\)，不能存在 满足 \(w(u,y)>w(u,x)\) 且 \(w(y,u)>w(y,v)\) 的情况。（否则 \(u\) 会和 \(y\) 匹配，这样就是 不稳定的）

稳定婚姻系统

取出一个未匹配的左部点，找到 \(u\) 权值最高的出边 \((u,v)\)。

若 \(v\) 还未被匹配，\(v\) 匹配上 \(u\)，否则：

令 \(p\) 表示 \(v\) 的匹配点，若 \(w(v,u)>w(v,p)\)，切断 \((p,v)\) 边和匹配，\(v\) 匹配上 \(u\)，\(p\) 另自寻找匹配；否则切断 \((u,v)\) 边，\(u\) 继续寻找匹配。

注意到一个性质，主动匹配的一方，一定是相对最优的。

每条边只会断一次，故时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。