树的重心 / 直径 - 树上选点问题 / 树上路径问题

重心

树的重心定义为点 \(s\)，满足所有点到 \(s\) 的距离和最小。

性质：子树大小限制

以 \(s\) 为根时，所有子树的大小 \(\le \dfrac{n}{2}\)，最大子树大小最小。

性质：点对距离限制

\(s\) 到所有点的距离之和最小。

性质：重心个数限制

树的重心最多有两个，且相邻。

奇数个结点的树重心唯一。

性质：删点重心移动

一棵树增或删一个叶子结点，重心移动的距离 \(\le 1\)。

性质：加边重心移动

把两棵树通过一条边相连，树的重心在原来两重心的路径上。

CF1824B2 LuoTianyi and the Floating Islands (Hard Version)

\(k\) 为奇数答案为 \(1\)。否则 \(k\) 为偶数，所有重心形成树上连通块，只需计数边数，\(+1\) 即为点数。

对于左右 \(a,b\) 个点的边，贡献即为 \(\dbinom{a}{k/2}+\dbinom{b}{k/2}\)。

启发：在遇到树上连通块时可以考虑之间的边。

直径

直径定义为图上最长的简单路径。

性质：给定端点直径

树上以 \(x\) 为一端的直径长度另一端一定为直径某个端点。

利用这一点，可以处理一些路径问题。

CF1413F Roads and Ramen

结论：路径一端一定是直径。

证明：考虑两种情况：