复杂度分析

势能分析法

基本模型

设 \(S_i\) 为第 \(i\) 状态，\(O(i)\) 为前 \(i\) 个状态消耗的实际复杂度，\(\Phi(S)\) 为势能函数。

若 \(\Delta O\) 可表示为 \(\Delta O\le \Delta\Phi+c\)，则所有操作的复杂度为 \(O\le \Phi(S_n)-\Phi(S_1)+O(\sum c)\)。

观察 \(\Phi\) 函数和复杂度函数的相关性。

核心：观察操作模式，构建 \(\Phi\) 函数。对 \(\Delta O\) 和 \(\Delta \Phi\) 建立等式关系，用 \(\Phi\) 的变化替代复杂度变化。

单调队列复杂度

状态定义为此时的单调队列，令 \(\Phi(S)=|S|\)，\(c_i\) 为入队元素数量，则 \(\Delta O=\Phi(S_i)+c_i-\Phi(S_{i+1})+c_i=\Delta \Phi+2c_i\)，于是复杂度为 \(O(2n)=O(n)\)。

二进制加法复杂度

对二进制高精数重复 \(n\) 次 \(+1\) 模拟操作，求分析复杂度。

令 \(\Phi(S)=S\) 末尾连续 \(1\) 的长度，则 \(\Delta \Phi=\Phi(S_i)-1\)，\(\Delta O=\Phi(S_i)= \Delta \Phi+1\)，故时间复杂度 \(O(2n)=O(n)\)。

多数 \(\bm\gcd\) 复杂度

https://zhuanlan.zhihu.com/p/344094740

引理：对两数 \(a,b\) 用辗转相除法求 \(\gcd\) 的复杂度为 \(O(\log \dfrac{\min(a,b)}{\gcd(a,b)})\)。

状态定义为此时的 \(\gcd\)，令 \(\Phi(S)=O(\log S)\)，则 \(\Delta O=O(\log \dfrac{\min(S_i,a_i)}{\gcd(S_i,a_i)})\le O(\log\dfrac{S_i}{S_{i+1}})=\Delta \Phi\)，于是复杂度 \(O(\log W)\)。

其他经典分析

\(O(\sum_{d\mid n}\sqrt{d})\) 与 \(O(\sum_{d\mid n}\dfrac{1}{d})\)

\[\begin{aligned} & \sum_{d\mid n}\frac{1}{d} \\ & =\prod_{i=1}^k(1+\frac{1}{p_i}+\cdots+\frac{1}{p_i^{\alpha_i}}) \\ & \le \prod_{i=1}^k\frac{p_i}{p_i-1} \\ & = \dfrac{n}{\varphi(n)} \end{aligned} \]

而众所周知的有 \(\varphi(n)=\Omega\left(\frac{n}{\log \log n}\right)\)，从而 \(\sum_{d\mid n}\frac{1}{d}=O(\log \log n)\)。

\(O(\sum_{i=1}^m\sqrt{\dfrac{n}{i}})\)

yyc 2023/5/3 9:38:37

嗯，考虑这个式子，当 \(n\) 增加 \(1\) 的时候，用新的值 \(\sqrt{nm+m}\) 减去原来的值 \(\sqrt{nm}\)

yyc 2023/5/3 9:38:49

然后等于 \(O(m/n)\)

yyc 撤回了一条消息

yyc 2023/5/3 9:39:16

证毕

yyc 2023/5/3 9:40:02