Thue-Morse 数列

定义

Thue-Morse (T. M.) 序列 \(\{T_n\}\) 为如下形式的布尔序列：

• \(T_0=0\)；
• \(T_{2n}=T_n\)；
• \(T_{2n+1}=1-T_n\)。

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性质 \(\bm 1\)

• \(T_i=\text{popcount}(i)\bmod 2=1-\dfrac{(-1)^{\text{popcount}(i)}}{2}\)。

显然，因为 \(T_i=T_{\frac{i}{2}}\text{ xor } (i\bmod 2)\)。

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下文中的 \(x\sim y\) 为 \([x,y)\)。

性质 \(\bm 2\)

• 由性质 \(1\) 得，每次将 \(T_{0\sim 2^i}\) 扩展到 \(T_{0\sim 2^{i+1}}\) 可以看作是将 \(T_{0\sim 2^i}\) 所有项取反接在后面。

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性质 \(\bm 3\)

• 由定义得，每次将 \(T_{0\sim 2^i}\) 扩展到 \(T_{0\sim 2^{i+1}}\)，\(T_{0\sim 2^{i+1}}\) 的偶数项与 \(T_{0\sim 2^i}\) 所有项对应相等。

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性质 \(\bm 4\)

• 由性质 \(3\) 得，每次将 \(T_{0\sim 2^i}\) 扩展到 \(T_{0\sim 2^{i+1}}\) 可以看作是将 \(T_{0\sim 2^i}\) 中的每个 \(1\) 的项替换为 \(1,0\)，将每个 \(0\) 替换为 \(0,1\)。

因为新序列的偶数项与原序列对应相等，而新序列的奇数项为偶数项异或 \(1\)。

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性质 \(\bm 5\)

• 记 \(b_i,c_i\) 分别表示第 \(i\) 个 \(1\) 和 \(0\) 的位置，对于任意的整数 \(\alpha\in [0,k]\) 均满足：

\[\sum_{i=1}^{2^k} b_i^{\alpha}= \sum_{i=1}^{2^k} c_i^{\alpha} \]

证明详见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/385807077。

注意到原文中有一处错误：

当 \(i\in[1,2^{k-1}]\) 时，\(b_{i+2^{k-1}}=c_i+2^k\)。