真假诺保佑我元神永不下分

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考虑杨表 \(\lambda\)，记 \(n\) 为 \(\lambda\) 的大小。\(h(a)\) 表示 \(a\) 的勾长，\(h(i,j)\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列格子的勾长。

取出勾长为 \(1\) 的边界格子，记它为集合 \(C\)。

我们归纳证明。考虑 \(n\) 填入的位置，设 \(f(\lambda)\) 为 \(\lambda\) 的方案数，有 \(f(\lambda)=\sum_{a\in C}f(\lambda\setminus\{a\})\)。

为了证明 \(f(\lambda)=\dfrac{n!}{\prod_{a\in\lambda}h(a)}\)，我们说明钩长公式亦满足这个递推：设 \(g(\lambda)=\dfrac{n!}{\prod_{a\in\lambda}h(a)}\)，则 \(g(\lambda)=\sum_{a\in C}g(\lambda\setminus\{a\})\)。

尝试证明 \(\sum_{a\in C}\dfrac{g(\lambda\setminus\{a\})}{g(\lambda)}=1\)。

把它展开，

\[\begin{aligned} 1&=\sum_{(a,b)\in C}\dfrac 1n\prod_{i=1}^{a-1}\dfrac{h(i,b)}{h(i,b)-1}\prod_{i=1}^{b-1}\dfrac{h(a,i)}{h(a,i)-1}\\&= \sum_{(a,b)\in C}\dfrac 1n\prod_{i=1}^{a-1}\left(\dfrac1{h(i,b)-1}+1\right)\prod_{i=1}^{b-1}\left(\dfrac1{h(a,i)-1}+1\right)\\&= \sum_{(a,b)\in C}\dfrac 1n\sum_{A\subset[a-1],B\subset[b-1]}\left(\prod_{i\in A}\dfrac1{h(i,b)-1}\right)\left(\prod_{i\in B}\dfrac1{h(a,i)-1}\right). \end{aligned} \]

现在已经有了一些眉目。考虑如下的随机游走方式：

• 选择一个起点开始游走，直到走到边界格结束；
• 设当前在 \((i,j)\notin C\)，从同行同列的 \(h(i,j)-1\) 个格子里随机一个走过去。

我们证明随机选起点走到 \((a,b)\) 的概率就是右式。

设经过的所有格子的行组成 \(A\cup\{a\}\)，列组成 \(B\cup\{b\}\)，枚举 \(A,B\) 也就知道了经过的格子和出发点 \((x,y)\)，设 \((x,y)\) 走到 \((a,b)\) 的概率是 \(p\)，归纳证明上式：

• \(h(x,y)-1=\left(h(a,y)-1\right)+\left(h(x,b)-1\right)\)。
• 讨论第一步是向左走还是向下走，于是 \(p=\dfrac{p_r+p_d}{h(x,y)-1}=\dfrac{p_r+p_d}{\left(h(a,y)-1\right)+\left(h(x,b)-1\right)}\)，将其展开易证。