图论 - 平面图欧拉定理、对偶图和广义串并联图

平面图

定义

平面中画出一个无向图使得任意两边（可以是曲线）不交的画法称为一种平面表示或平面嵌入。存在平面表示的无向图称为平面图或可平面图。

例如：网格图、\(K_4\)（4 个点的完全图）是平面图，\(K_{3,3}\)（左右 3 个点的二分图）、\(K_5\) 不是平面图。

面：边围出的连通区域，会有一个外部面（面积无限的面），若干内部面（面积有限的面）。

面的度数：包围面的边数。性质：平面图中所有面的次数之和等于边数的 2 倍。

欧拉公式

对于一个连通简单平面图，面的数量 \(r=m-n+2\)。

扩展：对于一个有 \(k\) 个连通块的简单平面图，面的数量 \(r=m-n+k+1\)。

证明考虑抽出 DFS 树，此后每加一条边面增加 1。

平面图的判定

首先有定理：\(n\) 个点 \(m\) 条边的平面图，\(m\le 3n-6\)。最小的封闭图形为三角形，将所有非三角形的面补全成三角形，达到边的上界。

证明：因为 \(2m\ge 3r\ge 3(m-n+2)\)，即 \(m\le 3n-6\)。

若两个图通过反复增加或消去 2 度顶点后是同构的，则称二者是同胚的。

#### 库拉图斯基定理

$K_5$：完全图，$K_{3,3}$：完全二分图。

图是平面图当且仅当 其不含与 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 同胚的子图。

图是平面图当且仅当 其中没有可以收缩到 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 的子图。

[HNOI2010] 平面图判定

给定一个哈密顿回路和若干条边，问这张图是不是平面图，\(n\le 200, m\le 10000\)。

对偶图

定义

将图的一种平面表示画出，对于相邻的两个面，使用一条无向边连接，如果是向内部支出来的一条边，用一条自环边表示。

平面图最小割定理

连接 \(S,T\) 边权 \(-\inf\)，将外部面分割为两个面 \(a,b\)，则平面图 \(S\to T\) 最小割等于对偶图 \(a\to b\) 最短路。

## 广义串并联图

### 定义

不存在子图同胚于 $K_5$ 的图 称为广义串并联图。

也就是任意 4 个结点都不存在 6 条**点不交**路径。

常见的广义串并联图：树、仙人掌、仙人掌加一条边。

### 性质

广义串并联图可以通过以下操作缩成单点：
- 删一度点
- 缩二度点
- 叠合重边

且任意能通过该操作缩点的图是广义串并联图。

任意图（假设 $m-n=k$）通过上述操作缩点 $m-n$ 不增，最终 $n\le 2k,m\le 3k$。

### [SNOI2020] 生成树

> 仙人掌加一条边，求生成树个数。

设 $f_{0,e},f_{1,e}$ 表示边 $e$ 等价于保留 / 删除的方案数**（局部）**。