图论 - 网络流

定义

网络：一个特殊的有向图 \(G\)，有容量和源汇点。

流：一个从边集映射到整数集 或实数集 的函数 \(f\)，满足：

• 容量限制
• 流守恒性：除源汇点外，任意结点 \(u\) 有 \(\sum_{x \in V} f(u, x) - \sum_{x \in V} f(x, u)=0\)。

称 \(f\) 是一个 s-t 流，\(f\) 的 流量 为 \(\sum_{x\in V} f(u,t)\)。

割：若 \(\{S, T\}\) 是点集的划分 且 \(s \in S, t \in T\)，称 \(\{S, T\}\) 为一个 s-t 割，\(\{S,T\}\) 的 容量 为 \(\sum_{u \in S} \sum_{v \in T} c(u, v)\)。

增广路：从 \(s\) 到 \(t\) 且只经过正流量边的路径。

残量网络 \(G'\)：对增广路每条边的流量减小 \(x\)，反向边流量增加 \(x\)。

最大流算法

最大流：
Dinic 算法：\(O(n^2m)\)；EK 算法：\(O(nm^2)\)。

费用流：
SPFA 费用流：\(O(nm|f|)\)；Dijkstra 费用流：\(O(|f|n\log m)\)；capacity-scaling：