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容斥原理

容斥原理的本质 不是 集合的并。容斥是从 DP 中自然得到的。

例题：树状图拓扑序计数。对于每条指向内的边，合法方案数 = 总方案数 - 不合法的方案数。所有点乘起来，系数就是 (-1)^x 了。

例题。另一种理解：把贡献按照容斥系数线性组合起来，冗余的部分刚好抵消。

二项式反演

\(g(n)\)：钦定 \(n\) 个 \(f(n)\)：恰好 \(n\) 个
若 \(g(n)=\sum \binom{n}{i}f(i)\) 则 \(f(n)=\sum (-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i)\)。

例题：求错排数。求在 2ⁿ 个子集中选出一些使得交为 i 的方案数。

数学期望

期望是什么？\(E=\sum pV\)。

期望具有线性性。\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)，\(E(cX)=cE(X)\)。

例题：绿豆蛙的归宿。本质上是利用了期望的线性性拆成概率再进行 DP。期望不能直接 DP，要转为概率 DP。

例题。推式子小练习。暴力展开乘积式。

例题：Slime and Biscuits，求期望停时。如果我们能找到一个势能函数 \(\Phi\) 满足操作一次 \(E(\Delta\Phi)=-1\)，最终答案就是 \(\Phi_0-\Phi_n\)。

一些 tricks：\(E=\sum pV\)，要先从这个考虑（P3600）。01 布尔变量的期望等于为 1 的概率。期望选中多少个点，可以转化为每个点被选中的概率之和（CF1924E）。一个随机排列 \(m\) 个钦定的数中一个数排在最前面的概率是 \(\dfrac{1}{m}\)（CF1924E）。若一个试验有 \(p\) 的概率成功，那么成功的期望重复次数为 \(\dfrac{1}{p}\)（CF1753C）。\(E(X)=\sum P(X\ge x)\)，所以对于 \(\min,\max\) 的期望可以进一步拆为概率式（P3600，P3352）。

所以期望题怎么做？能拆就拆，拆不了了就用 \(\sum pV\) 算概率。

集合幂级数

OR 卷积：

点击查看代码

void OR(int *a) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int s = 0; s < (1 << n); s++)
			if (~s >> i & 1) a[s ^ (1 << i)] += a[s];
	}
}
void IOR(int *a) {
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int s = 0; s < (1 << n); s++)
			if (~s >> i & 1) a[s ^ (1 << i)] -= a[s];   // 只是改了一个减号
}

XOR 卷积：
对于一个 \(S\)，

\[\sum_T(-1)^{\operatorname{popcount}(S\&T)}c_T=\left[\sum_T(-1)^{\operatorname{popcount}(S\&T)}a_T\right]\left[\sum_T(-1)^{\operatorname{popcount}(S\&T)}b_T\right] \]

点击查看代码

void XOR(int *a) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
			if (~s >> i & 1) {
				int x = a[s], y = a[s ^ (1 << i)];
				a[s] = x + y; a[s ^ (1 << i)] = x - y;
			}
		}
	}
}
void IXOR(int *a) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
			if (~s >> i & 1) {
				int x = a[s], y = a[s ^ (1 << i)];
				a[s] = (x + y) / 2; a[s ^ (1 << i)] = (x - y) / 2;   // 只是多 / 2
			}
		}
	}
}