真假诺玩元神吗

证明：

\[\sum_{k=0}^n\dbinom nk\dbinom{n-k}{\lfloor\frac{n-k}2\rfloor}2^k=\dbinom{2n+1}{n}. \]

组合意义：

设想有 \(2n+1\) 个球，标号 \(1,2,\ldots,2n+1\)。

右式的含义就是从 \(2n+1\) 个球里面选 \(n\) 个，构成子集 \(T\)。

我们把 \(1,\ldots,2n\) 两两一组匹配，记 \(a\) 匹配 \(f(a)\)。

考虑 \(k={\color{blue}\mathbf\#\ }a\in T,f(a)\notin T,a\ne 2n+1\)。我们知道 \(\left\lfloor\dfrac{n-k}2\right\rfloor={\color{blue}\mathbf\#\ }a\in T,f(a)\in T,a\ne 2n+1\)。

那么左式的意义就很明显了：选出 \(k\) 对，并决定每一对的哪一个被选入集合 \(T\) 中；在剩下里面选 \(\left\lfloor\dfrac{n-k}2\right\rfloor\) 对，两两都选入集合 \(T\) 中；再根据个数决定 \(2n+1\) 选不选。