真假诺是什么意思呢

证明：简单无向图（无自环，无重边）的生成树个数 \(=\) 邻接矩阵减去度数矩阵去掉一行一列后的行列式。

组合意义：

把一条无向边看作两条有向边，求行列式的过程等价于强制不让根结点连边，同时其他点任意连出边，这 \(n-1\) 条边组成若干个环或自环。

对于一个自环 \(u\to u\)，它的贡献是 \(\deg u\)，否则对每个奇环会有 \((-1)\) 的贡献，对排列 \(p\) 附带有 \((-1)^{\pi(p)}\) 的系数，这等于每个偶环贡献 \((-1)\)。相当于钦定一些环每个贡献 \((-1)\)，容斥可得，答案立即等于生成树个数。

代数解释：

定义有向图（如果 \(G=(V,E)\) 是无向图，任意将其定向后讨论。）的 关联矩阵 \(\mathbf M_{|V|\times |E|}\)（\(E_j\) 为 \(E\) 中的第 \(j\) 条边，并假设 \(V=[n]\)。）：

\[\mathbf M_{i,j}= \left\{\begin{matrix} 1 & E_j=(i,*), \\ -1 & E_j=(*,i), \\ 0 & \text{otherwise.} \end{matrix}\right. \]

定义无向图的 拉普拉斯（基尔霍夫）矩阵 \(\mathbf L=\mathbf M\mathbf M^{\operatorname{T}}\)，容易验证：

\[\mathbf L_{i,j}= \left\{\begin{matrix} \operatorname{deg}i & i=j, \\ -[(i,j)\in E] & i\ne j. \end{matrix}\right. \]

给出 柯西 - 比内定理：

设矩阵 \(\mathbf A_{n\times m},\mathbf B_{m\times n}\)，不妨 \(n\le m\)，记 \(\mathbf A[S]\) 表示 \(\mathbf A\) 保留集合 \(S\) 中的列得到的矩阵，\(\mathbf B[S]\) 表示 \(\mathbf B\) 保留集合 \(S\) 中的行得到的矩阵，有

\[\det\mathbf A\mathbf B=\sum_{|S|=n,S\subset[m]}\left(\det\mathbf A[S]\right)\left(\det\mathbf B[S]\right). \]

记 \(\mathbf M_0\) 为 \(\mathbf M\) 丢掉第 \(k\) 行得到的矩阵，\(\mathbf L_0=\mathbf M_0\mathbf M_0^{\text{T}}\) 是 \(\mathbf L\) 丢掉第 \(k\) 行第 \(k\) 列得到的矩阵，证明矩阵树定理是容易的：

\[\begin{aligned} \det\mathbf L_0&=\det\left(\mathbf M_0\mathbf M_0^{\operatorname{T}}\right)\\ &=\sum_{|S|=n-1,S\subset[m]}\left(\det\mathbf M_0[S]\right)\left(\det\mathbf M_0^{\operatorname{T}}[S]\right)\\ &=\sum_{|S|=n-1,S\subset[m]}\det\left(\mathbf M_0[S]\right)^2. \end{aligned} \]

解释到组合意义，\((\det\mathbf M_0[S])^2=1\) 等价于 \(S\) 中的边组成了原图的一棵生成树。可以证明，若 \(S\) 不构成生成树，则 \(\det=0\)，否则 \(\det=\pm1\)。