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在一个 DAG \(G=(V,E)\) 上，给定起点集合和终点集合 \(S=\{s_1,\ldots,s_m\}\)，\(T=\{t_1,\ldots,t_m\}\)。

设 \(p\) 是一个 \(m\) 阶排列，\(\pi(p)\) 是 \(p\) 的逆序对数。\(P=\{P_1,P_2,\ldots,P_m\}\) 分别是从 \(s_i\) 到 \(t_{p_i}\) 的路径，\(\rho(P)\) 是 \(P\) 对应的排列 \(p\)。关于 \(P\) 的性质 \(\color{red}\mathrm F(P)\) 成立当且仅当 \(m\) 条路径两两边无交。

构造矩阵 \(\mathbf M=[d(s_i,t_j)]_{m\times m}\)，其中 \(d(s,t)\) 表示从顶点 \(s\) 到顶点 \(t\) 在 \(G\) 上的路径数，证明：

\[\sum_{\color{red}\mathrm F(P)} (-1)^{\pi[\rho(P)]}=\det\mathbf M. \]

组合意义：

\(\det\mathbf M\) 实际上等于 \(\displaystyle\sum(-1)^{\pi[\rho(P)]}\)。今证明 \(\displaystyle\sum(-1)^{\pi[\rho(P)]}=\sum_{\color{red}\mathrm F(P)}(-1)^{\pi[\rho(P)]}\)，即有 \(\displaystyle\sum_{\color{red}\mathrm\neg F(P)}(-1)^{\pi[\rho(P)]}=0\)。

这个只需要构造双射就可以了。取字典序最小 \((a,b)\) 满足 \(P_a\) 和 \(P_b\) 有交，相交之后的路径交换一下得到 \(T(P)\)。显然 \(T(P)\ne P,T(T(P))=P\)，且 \(\displaystyle(-1)^{\pi[\rho(P)]}+(-1)^{\pi[\rho(T(P))]}=0\)，两两抵消，轻松得证。