数据结构 - 基础数据结构

树状数组

单点修改，前后缀和。

实际上维护了 \((i-\operatorname{lowbit}(i),i]\) 的区间和。

为什么是对的，反着写为什么是对的。

性质：把 \(i\to i+\operatorname{lowbit}(i)\) 连边后是一棵树。

树状数组的快速清空

维护时间戳，表示最后一次修改的时间，常数更小。

线段树

抽象数据结构

什么是抽象数据结构。

对于线段树信息群 \(I\)，标记群 \(D\)，满足：

• 信息结合律：\(a,b,c\in I,(a+b)+c=a+(b+c)\)
• \(a\in I, b\in D,a+b\in I\)
• 标记可下传（标记可以集体下放更新到子节点的信息）：\(a\in I,b,c\in D\)，\((a+b)+c=a+(b+c)\)
• 标记满足结合律（标记可以和子节点的标记合并）：\(a,b,c\in D,(a+b)+c=a+(b+c)\)
• 标记提前计算（在一点打上标记时，直接更新维护的信息）：\(a,b\in I, c\in D\)，\((a+b)+c=(a+c)+(b+c)\)

常数优化

让内存连续

• 对每个结点开 struct 存储信息
• 把 l,r 传入函数，利用栈空间缓存

规避不必要的递归和判断

• zkw 线段树（标记永久化）

标记永久化

直接在结点上永久更新标记。

标记额外满足交换律：\(a,b\in D, a+b=b+a\)。

动态开点

维护有效部分的虚树。

字典树 Trie

本质是长为 \(2^k\) 的值域线段树。支持合并。

线段树合并

弄清楚线段树合并和树上 dsu 的关系：线段树合并的优势在于维护的线段树 而不是合并。

复杂度使用势能分析，势能为线段树结点数。

线段树分裂

分裂为两个区间。

一次分裂最多花费 \(O(\log n)\) 的时间令势能增加 \(O(\log n)\)，复杂度正确。

扫描线

矩形面积并

给出 \(n\) 个矩形，求并的面积。

维护 \(\sum_i[i=\min]\text{len}_i\)。

线段扫描线：P4605 [SDOI2018] 物理实验

平面上有一条无限长的导轨，有一个长为 \(L\) 的激光发射器，垂直于导轨向两边发光。有 \(n\) 块挡板，光不能透过挡板。求一个位置使得照亮的挡板长度之和最大。

扫描线，std::set 维护当前所有线段截距的大小相对关系，在端点加或删。

线段扫描线：CF704E Iron Man

有一棵 \(n\) 个点的树，\(m\) 个波特，第 \(i\) 个波特会在时间 \(t_i\) 出现在 \(u_i\)，并以每秒 \(c_i\) 条边的速度向 \(v_i\) 匀速移动，到达点 \(u_i\) 时立即消失，两个波特在同一个位置会立刻爆炸。求出第一次爆炸的时间。

树剖。

线段扫描线：UOJ553 【UNR #4】己酸集合

线段扫描线：P6106 [Ynoi2010] Self Adjusting Top Tree

CDQ 分治

求解多维偏序问题，也可以优化 DP。

带修二维偏序可以转化为带时间戳的三维偏序通过 CDQ 求解。

P4690 镜中的昆虫

经典转化：颜色数维护 \(\operatorname{lst}\)，转化为 \((i,\operatorname{lst})\) 的二维数点。

涉及修改：删旧加新，维护时间戳，转化为二维数点。

CF568E Longest Increasing Subsequence

列出式子，把 \(\max\) 转为一维条件 CDQ 优化 DP。

P5979 [PA2014] Druzyny

优化 DP。

树套树

加点、删点、矩形求和。在线。

对每个 \(x\) 维护 \(y\) 一维的动态开点线段树，树状数组或线段树维护 \(x\) 维度前缀线段树的并。

P3380 【模板】二逼平衡树

维护序列，\(m\) 次操作：查询 \(k\) 在区间内的排名；查询区间内排名为 \(k\) 的值；修改某一位的数值；查询 \(k\) 在区间内的严格前驱后继。

第一维是位置，第二维是值，树状数组维护动态开点权值线段树的并。

查询排名：在 \(\log\) 个线段树上查，\(\log^2\)；查询第 \(k\) 大：二分，\(\log^3\)。

第一维是值，第二维是位置，线段树套线段树。

查询排名：在 \(\log\) 个线段树上查，\(\log^2\)；查询第 \(k\) 大：线段树二分，\(\log^2\)。

线段树分治

或者叫 "猫树分治"、"二区间合并"。

参考资料

• 2023ZR 夏讲课及课件
• 2023ZR 国庆讲课及课件