会飞的鱼的数学空间

摘要： 常规的一道证明 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x+(1-a)x+1\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)当 \(a=1\)，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\) 解 (1) \(f^{\prime}( 阅读全文

摘要： 类隐零点与切线放缩，越复杂越不怕 已知函数\(f(x)=\ln x-ax(x-1)\) (1)当\(a\leq 0\)时，探究\(f(x)\)的零点个数 (2)当\(a>0\)时，证明:\(f(x)\leq\dfrac{2+a}{\sqrt{a^2+8a}-a}-\dfrac{3}{2}\) (1) 阅读全文

摘要： 参变分离，切线放缩 已知函数\(f(x)=e^x-x-1\) (1)讨论\(f(x)\)的单调性 (2)当\(x\geq 0,\)时\(f(2x)\geq 4x^3-ax^2\)，求\(a\)的取值范围 解 (1)略 (2)\(e^{2x}-2x-1\geq 4x^3-ax^2\) 当\(x=0\) 阅读全文

摘要： 隐零点、同构、必要性探路三法解决 已知函数\(f(x)=e^{x-1}-a\ln x\) (1)当\(a=-1\)，求曲线\(y=f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线方程 (2)当\(a>0\)，若不等式\(f(x)\geq a+a\ln a\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 (1)\ 阅读全文

摘要： 非常好的一道界值分析，数学分析浓郁的综合性题 已知函数\(f(x)=e^{1-x}-ax\ln x,a>\dfrac{1}{4}\) (1)若\(f(x)\leq 3-2x\)，求\(a\) (2)证明：\(f(x)\leq 1-(a+1)\ln x\) (3)证明：\(f(m)+f\left(\d 阅读全文

摘要： 利用极限找点 定义函数满足\(f(x_0)=f^{\prime}(x_0)\)的实数\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的然点，已知\(f(x)=(\ln x+a)e^{-x}\) (1)证明：\(\forall a\in\mathbb{R}\)，函数\(y=f(x)\)必有然点 (2)设\(x 阅读全文

摘要： 很综合的一道类偏移结合放缩 已知函数\(f(x)=xe^x-\ln(x+1),g(x)=2\ln(x+1)-a\sin x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a>2,\)函数\(h(x)=f(x)+g(x)\) (i)证明：\(h(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi 阅读全文

摘要： 典型的一道求参问题 已知\(f(x)=a(x+1)^2-4\ln x\) (1)若\(a=\dfrac{1}{2}\)，求曲线\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程 (2)若对任意的\(x\in[1,e],f(x)< 1\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围 (1)\(a=\dfrac{1}{ 阅读全文

摘要： 隐零点与类偏移，第三问太难想不出来，不知道考哪里 \(f(x)=x^2+\dfrac{1-\ln x}{x}-a\)有两个零点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\) (1)求\(a\)的取值范围 (2)证\(x_1x_2<1\) (3)证\(x_2-x_1<\sqrt{a^2-4}<x_2^ 阅读全文

摘要： 如果有简单的方法，麻烦评论区给下思路，没写出来 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x^2+1\) (1)若\(f(x)\)只有一个零点，求实数\(a\)的取值范围 (2)证明:\((\ln 2)^2+\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)^2+\ln\left(\dfrac{4 阅读全文