会飞的鱼的数学空间

摘要： 类二次函数与隐零点 已知函数\(f(x)=x(x-3)+(x+2)e^x\) (1)求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(g(x)=f(x)+x\left(3-\dfrac{3}{2}x\right)+\ln x+e^x(x^2-3x-1)\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 (1)\(f^{\ 阅读全文

摘要： 内心向量式、焦半径、焦点弦长 设动点\(M(x,y)\)与定点\(F_2(\sqrt{2},0)\)的距离和它到定直线\(l:x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)的距离比为\(\sqrt{2}\)，记点\(M\)的轨迹为\(C\) (1)求\(C\)的方程 (2)设\(F_1(-\sqrt 阅读全文

摘要： 同构、隐零点 已知函数\(f(x)=x\ln x+(t-1)x-t\) (1)当\(t=0\)，讨论\(f(x)\)的极值 (2)若\(F(x)=f(x)-\dfrac{e^x}{e^t}\)有两个不同的极值点，求\(t\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=x\ln x-x\)，\(f^{\pri 阅读全文

摘要： 同构处理，计算量大，弦长问题 已知\(A(2,2),B,C\)是抛物线\(E:x^2=2py\)上的三点，且\(AB\)与直线\(AC\)的斜率和\(0\) (1)求直线\(BC\)的斜率 (2)若直线\(AB,AC\)均与圆\(M:x^2+(y-2)^2=r^2(0<r<\sqrt{3})\)相切 阅读全文

摘要： 简单的但难于计算的二次函数形双参问题 已知函数\(f(x)=x^2-ax+2\ln x\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)已知\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\)，证明:$2f(x_1)-f(x_2)\geq -3\ln 2 $ 解 (1)\(f^{\ 阅读全文

摘要： 简单的同构 已知函数\(f(x)=(2-a-ax)e^x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a=1\)，证明:\(f(x)+e^x\ln(x+1)\leq x+1\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=(2-ax-2a)e^x\) Case1 当\(a=0\)时，\(f(x 阅读全文

摘要： 端点效应与放缩 已知函数\(f(x)=(ax^2+x+a)e^{-x}(a\in\mathbb{R})\) (1)若\(a\geq 0\)，函数\(f(x)\)的极大值为\(\dfrac{3}{e}\)，求\(a\) (2)对任意的\(a\leq 0\),\(f(x)\leq b\ln(x+1)\) 阅读全文

摘要： 放缩找点、多次隐零点代换 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2\left(\ln x-\dfrac{1}{2}\right)+ax(\ln x-1),a\neq 0\) (1)若\(a>0\)，证明:\(f(x)\)有唯一的零点 (2)若\(f(x)>0\)，求实数\(a\)的取值范 阅读全文

摘要： 技巧用全的双变量问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a(x+1)}{e^x}+\ln x\) (1)若\(f(x)\)是单调递增的，求\(a\)的范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点(\(x_1>x_2>0\))，证明:\(a(x_1^2+x_2^2)>2\sqrt{e}\) 解 (1) 阅读全文

摘要： 常规的零点分析 已知函数\(f(x)=\dfrac{ax}{e^x}+\dfrac{1}{2}x^2-x(a>0)\) (1)若\(f(x)<\dfrac{1}{2}x^2-\ln x\)恒成立，求\(a\)的范围 (2)讨论\(f(x)\)的零点个数 解 (1)\(f(x)<\dfrac{1}{2 阅读全文