会飞的鱼的数学空间

摘要： 找点问题，第一次尝试着不用极限去做 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1\) \((1)\) 求\(f(x)\)的最小值 \((2)\) 若\(g(x)=x^2[f(x)+1-a]-x+a\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x) 阅读全文

摘要： 高考数学里的微分学思想 已知函数\(f(x)=e^x-ax^3-x-2\) \((1)\)当\(a=0\)，求\(f(x)\)的单调区间与极值 \((2)\) 若\(a\leq \dfrac{1}{6}\)，证明:当\(x_1,x_2\in[0,+\infty)\)，且\(x_1>x_2\)时，\( 阅读全文

摘要： 一道典型但又很难想到思路的双变量问题 已知函数\(f(x)=\ln x-ax-\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 函数\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明:\(x_1x_2>2e^2\) 解 \((1)\ 阅读全文

摘要： 保号性辅助临界点分析 已知函数\(f(x)=x\ln x+a(x^3-x)\) \((1)\) 讨论\(\dfrac{f(x)}{x}\)的单调性 \((2)\) 已知\(g(x)=2x-e^{x-1}-1\)，若\(f(x)\geq g(x)\)恒成立，求\(a\)的值. 解 \((1)\) 记\ 阅读全文

摘要： 找点问题着重于分析图形的走势 已知函数\(f(x)=e^x-ax\sin x-x-1\) \((1)\) \(a=0\)时，证明：\(f(x)\geq 0\)恒成立 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在\((0,\pi)\)上只有唯一的零点，求\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) 经典的切 阅读全文

摘要： 找点问题 已知函数\(f(x)=\sin2x-\ln(1+x),f^{\prime}(x)\)是\(f(x)\)的导数 \((1)\) 证明；\(f^{\prime}(x)\)在区间\(\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上存在唯一的极大值点; \((2)\) 讨论\(f 阅读全文

摘要： 分析不等式 设函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}ax^2+\cos x-1\) \((1)\) 当\(a\geq 1\)时，证明:\(f(x)\geq 0\) \((2)\) 证明:\(\dfrac{1}{\tan 1}+\dfrac{1}{2\tan\dfrac{1}{2}}+\dfrac 阅读全文

摘要： 常用的两个放缩应用，结构很明显 已知函数\(f(x)=\sin x\) \((1)\) 设\(F(x)=f(x)-mx,\)若\(F(x)\leq 0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求实数\(m\)的取值范围 \((2)\) 设\(G(x)=\dfrac{2}{3}f(x)+x-\df 阅读全文

摘要： 切点弦与阿基米德三角形 已知\(F\)是抛物线\(C:x^2=4y\)与椭圆\(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>1)\)的的公共焦点，椭圆上的点\(M\)到点\(F\)的距离的最大值为\(3\) \((1)\) 求椭圆的方程 \((2)\) 过点\(M 阅读全文

摘要： 简单的非对称问题 已知点\(F_1(-1,0),F_2(1,0)\)，动点\(M\)满足\(|MF_1|+|MF_2|=4\)，动点\(M\)的轨迹记为\(E\) \((1)\) 求\(E\)方程 \((2)\) 若不垂直于\(x\)轴的直线\(l\)过点\(F_2,\)与\(E\)交于\(C,D\ 阅读全文