会飞的鱼的数学空间

摘要： 典型一道切割线放缩 已知函数\(f(x)=x\ln x\)，并且\(f(x)=b\)有两个实数根\(x_1,x_2,x_1<x_2\)，证明：\(be+1<x_2-x_1<\dfrac{e^{-3}+2+3b}{2}\) 解 不难做出\(y=x\ln x\)的图像 右边切线放缩： \(f^{\pri 阅读全文

摘要： 端点效应难在放缩语言的叙述 已知函数\(f(x)=\ln x+ax^2-x+a+1\)，若\(f(x)\leq e^x\)，求\(a\)取值范围 解 \(\ln x+ax^2-x+a+1-e^x\leq 0\) 记\(g(x)=\ln x+ax^2-x+a+1-e^x,g(1)=2a-e\leq 0 阅读全文

摘要： 浙江地区出的题太难，上积分了 设函数\(f(x)=\ln(x+1)-a\ln x-b,a>0,b\in\mathbb{R}\) (1)对任意\(0<a<1\)，函数\(f(x)\)有两零点，求\(b\)的取值范围 (2)设\(n\geq 2,n\in\mathbb{N}^{\star}\)，证明:\ 阅读全文

摘要： 高考题还是质量高，观察式子进行选值放缩 已知函数\(f(x)=xe^{ax}-e^x\) (1)当\(x>0\)时，\(f(x)<-1\)，求\(a\)取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\dfrac 阅读全文

摘要： 难度很大的估值问题 已知\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) (1)求\(f(x)\)最小值 (2)当\(0<x<1\)时，若\(\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{a}{x+2}\)恒成立，求\(a\)范围 (3)证明:\(\displaystyle\sum\ 阅读全文

摘要： 一题多解,换主元、隐零点 已知函数\(f(x)=\ln x-x+a-1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\)取值范围 (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(f(x)\leq \dfrac{(x-1)e^x-xe^a}{e^a}\) 解 (1) 因\(f(1)=a-2\)， 阅读全文

摘要： 很适合作为改革后的第19题 已知函数\(f(x)=x-\ln(x+a)\)的最小值为\(0,a>0\) (1)求\(a\) (2)\(\forall x\geq 0,f(x)\leq kx^2\)成立，求\(k\)最小值 (3) 证明:\(\displaystyle\sum\limits_{i=1} 阅读全文

摘要： 换主元，常用放缩与有界放缩 已知函数\(f(x)=a^2e^x-3ax+2\sin x-1\) (1)若\(f(0)\)是函数\(f(x)\)的极值，求实数\(a\)的值 (2)证明，当\(a\geq 1\)时，\(f(x)\geq 0\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=a^2e^x-3 阅读全文

摘要： 常见的处理技巧与端点效应 已知函数\(f(x)=(x-1)\ln(x-2)-a(x-3)\)，若当\(x>3\)，\(f(x)>0\)恒成立，求\(a\)范围 解 \((x-1)\ln(x-2)-a(x-3)>0\) 即\(\ln(x-2)-a\dfrac{x-3}{x-1}>0\) 记\(g(x) 阅读全文

摘要： 有界性，第三问有点问题，没说明数列的唯一性 已知函数\(f(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{x+1}},g(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) (1)求\(f(x)\)单调增区间 (2)证明：\(-\dfrac{1}{4}<g(x)<1\) (3)设\(x_1=\sqrt2,x_{ 阅读全文