会飞的鱼的数学空间

摘要： 经典找点问题，如果利用保号性是显然的 已知函数\(f(x)=(m+1-x)e^x-\dfrac{1}{2}me^{2x}-2\) (1)当\(m=2\)，讨论\(f(x)\)的单调性 (2)若\(x=0\)，是\(f(x)\)的极小值点，求\(m\)的取值范围 解 (1)\(m=2,f(x)=(3- 阅读全文

摘要： 常规比值代换，极值点偏移 已知函数\(f(x)=x\ln x-a(2x^2+1)\) (1)若\(a=-1\)，求\(f(x)\)在\(x=-1\)处的切线 (2)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\) (i)求\(a\)的范围 (ii)证明:\(3x_1-x_2 阅读全文

摘要： 隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le 阅读全文

摘要： 双切线，同构处理，面积范围，特别地表示直线 已知抛物线\(C_1:y^2=2px(p>0)\)的准线与半椭圆\(C_2:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1(x\leq 0)\)相交于\(A,B\)两点，且\(|AB|=\sqrt{3}\) (1)求抛物线方程 (2)若点\(P\)是半椭圆\(C 阅读全文

摘要： 隐零点代换，短除因式分解，计算量偏大 已知\(f(x)=\ln x-ax+a,g(x)=(x-1)e^{x-a}-ax+1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\) (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(g(x)\geq f(x)\) 解 (1)\(\ln x-ax+a\le 阅读全文

摘要： 简单直白的面积问题 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左定点合右焦点分别为\(Q,F\)，且\(|QF|=3\)，点\(D(0,1)\)满足\(\overrightarrow{DQ}\cdot\overrightarrow{DF 阅读全文

摘要： 函数\(f(x)=\dfrac{e^x}{x}-a\)的图像与\(x\)轴的两交点为\(A(x_1,0),B(x_2,0)(x_2>x_1)\) (1)令\(h(x)=f(x)-\ln x+x\)，若\(h(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 (2)证明:\(x_1x_2<1\) (3)证明 阅读全文

摘要： 简单的一道 已知\(f(x)=e^{x+a}-\dfrac{e^2}{2}a^2x(a>0)\) (1)求\(f(x)\)极小值点的最大值 (2)证明:当\(x\geq 0\),\(f(x)>e^x\)恒成立 解 (1)\(f^{\prime}(x)=e^{x+1}-\dfrac{e^2}{2}a^ 阅读全文

摘要： 看着吓人，式子变形 设\(f(x)=e^x,g(x)=\ln x\) (1)已知\(e^x\geq kx\geq \ln x\)恒成立，求\(k\)取值范围 (2)已知直线\(l\)与曲线\(f(x),g(x)\)分别切于点\((x_1,f(x_1)),(x_2,g(x_2))\)，其中\(x_1> 阅读全文

摘要： 思路简单，计算量过大的一题，强行堆砌计算量 已知抛物线\(C:y^2=2x\)的焦点为\(F\)，其准线\(l\)与\(x\)轴交于点\(P\)，过点\(P\)的直线与\(C\)交于点\(A,B\)(\(A\)在\(B\)的左侧) (1)若点\(A\)是线段\(PB\)的中点，求\(A\)的坐标 ( 阅读全文