会飞的鱼的数学空间

摘要： 难难难的双参问题 已知函数\(f(x)=\ln(1+x)+\dfrac{x^2}{2}\) (1)当\(x>0\)，比较\(f(x)\)与\(x\)的大小 (2)若函数\(g(x)=\cos x+\dfrac{x^2}{2}\)，且\(f\left(e^{\frac{a}{2}}\right)=g( 阅读全文

摘要： 隐零点的多次转化 已知函数\(f(x)=e^x-a\ln(x+1)\) (1)若\(f(x)\)的最值为\(a\)，求\(a\) (2)当\(a=\dfrac{1}{e^n}(n\in\mathbb{N})\)时，证明：\(f(x)\geq (n+1)a\) 解 (1) 由费马定理，连续函数在开区间 阅读全文

摘要： 稀疏平常的一道比值代换 已知函数\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}ax^2\) (1)若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，求\(a\)范围 (2)若\(f(x)\)有两个极值点分别为\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，当\(\lambda>1\)证明:\( 阅读全文

摘要： 洛必达法则 已知定义在\((0,+\infty)\)上的函数\(f(x)=\ln(x+1),g(x)=\sqrt{x}\) (1)证明:\(f(x)<g(x)\) (2)设\(\varphi(x)=\left[\dfrac{4}{g^2(x)}+t\right]f(x)\)在\((0,+\infty 阅读全文

摘要： 双变量的常规处理，但要注意齐次 \(f(x)=\dfrac{a}{x^2}+2\ln x\) (1)求\(f(x)\)单调性 (2)若\(f(x)\)存在两个不同零点，证明：\(x_1f^{\prime}(x_1)+x_2f^{\prime}(x_2)>4\ln\dfrac{a}{2}+4\) 解 阅读全文

摘要： 越丑的结构，就想到同构 已知函数\(f(x)=ke^x+(\ln x)^2-x\),若\(f(x)\geq (x+\ln k)^2\)，恒成立，求\(k\)取值范围 解 原不等式为\(ke^x+(\ln x)^2-x\geq(x+\ln k)^2\) 即\(e^{\ln k+x}-(x+\ln k) 阅读全文

摘要： 找点问题，着重于常用放缩的应用与极限思想 已知函数\(f(x)=(x-1)e^x-a\ln x\) (1)当\(a=e\)，求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(f(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=(x-1)e^x-e\ln x,f^{\prime}(x)=xe 阅读全文

摘要： 端点效应与适当放缩 已知函数\(f(x)=e^x+\cos x-2,g(x)=\sin x\) (1)证：当\(x>0\)时，\(g(x)<x<f(x)\) (2)若\(x>0,f(x)+g(x)>ax\)恒成立，求\(a\)的取值范围. 解 (1)左边经典不等式，略 右边：\(x<e^x+\cos 阅读全文

摘要： 切线放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+(a-m-1)x-ax\ln x\) (1)若\(m=-1\)时，\(y=f(x)\)不是单调函数，求\(a\)范围 (2)若\(a=2,m<0\)时，\(f(x)\)存在两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明：\(x 阅读全文

摘要： 有点硬凑的找点问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{2}e^{2x}+(a-2)e^x-\dfrac{x^2}{2}\) (1)讨论\(f^{\prime}(x)\)单调性 (2)若\(x_1,x_2\)是\(f(x)\)的极值点，证明:\(x_2-x_1<\ln(3-a)-\ln a+\ 阅读全文